上海市延安中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

延安中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一．填空题（本大题共36分，每小题3分） 1．已知角的终边过点，则______． 2．若复数是纯虚数，则实数______． 3．在复数范围内，方程的根是______． 4．已知数列，，，则______． 5．若复数，，则实数______． 6．已知，则______． 7．已知，，则在方向上的数量投影是______． 8．关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数______． 9．已知无穷等比数列，，，则公比______． 10．已知，，且，若，当且仅当______时，取到最大值． 11．已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是______． 12．已知平面向量、、，满足，，，，则的最大值为______． 二．选择题（本大题共12分，每小题3分） 13．设，，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．若O是内一点，，则O是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 15．已知等比数列前n项和为，则下列结论一定成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P的坐标为，则的值为（ ） A．10 B．6 C．2 D．以上都不对 三．解答题（本大题共52分） 17．（本题满分8分，其中第1小题4分，第2小题4分） 已知复数z是纯虚数，是实数． （1）求z； （2）若，求． 18．（本题满分9分，其中第1小题4分，第2小题5分） 已知平面内给定三个向量，，． （1）若，求实数m，n的值； （2）若，求实数k的取值范围． 19．（本题满分10分，其中第1小题4分，第2小题6分） 已知数列的前n项和为，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求所有使不等式成立的n的取值集合． 20．（本题满分12分，其中第1小题5分，第2小题7分） 已知矩形ABCD的边，，点P，Q分别在边BC，CD上，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 21．（本题满分13分，其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题5分） 设等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，若对，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，问是否存在正整数p、，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、填空题 1.； 2.-1； 3. ； 4.58； 5. ； 6. ； 7.-2； 8.； 9. ； 10.6或7； 11. ； 12.192； 12.已知平面向量、、，满足，，，，则的最大值为______． 【答案】192 【解析】,因为,所以 所以为等边三角形,因为为的中点, 所以的底边上的高为 所以 所以 由圆的几何性质可知,当三点共线且为线段AD上的点时, 的面积取得最大值,此时的底边上的高h取最大值, 即, 因此的最大值为. 二、选择题 13.B； 14.D； 15.C； 16A. 16.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P的坐标为，则的值为（ ） A．10 B．6 C．2 D．以上都不对 【答案】A 【解析】由题意作出图象如图,由图象可知,共有5个交点, 根据余弦函数的中心对称性可知,和和 三、解答题 17.（1） （2） 18.（1）, （2） 19.（1） （2） 20.（本题满分12分，其中第1小题5分，第2小题7分） 已知矩形ABCD的边，，点P，Q分别在边BC，CD上，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】易得 当且仅当,时取“,当时,点恰在边上, 恰边上,满足条件,综上所述,的最小值为, 故答案为:. 21.（本题满分13分，其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题5分） 设等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，若对，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，问是否存在正整数p、，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由． 【答案】21.（1） （2） （3） 【解析】（1）在等差数列中,由, 解得;; (2),的前项和 分n为奇偶性讨论，参变分离，易得。 （3） ， 所以严格减。所以。 $