上海市复兴高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（2023.6）

复兴中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题(1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.若,则_. 2.已知,则_. 3.已知i是虚数单位,复数_. 4.在复平面内,复数对应的点位于第_象限. 5.在等差数列中,,则_. 6.关于的一元二次方程至少有一个实根,则实数的值是_. 7.若,且与的夹角为,则_. 8.下列关于向量的命题,序号正确的是_. ①零向量平行于任意向量; ②对于非零向量,若,则, ③对于非零向量,若,则; ④对于非零向量,若,则与所在直线一定重合. 9.已知向量,若,则_. 10.已知,把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵,记表示该数阵中第行中从左到右的第个数,则对应数阵中的数是_. 11.设全集,若,则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为_. 12.莱洛三角形也称圆弧三角形,是一种特殊的曲边三角形,在建筑、工业上应用广泛如图所示,分别以正三角形的顶点为圆心,以正三角形边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形,已知两点间的距离为2,点为莱洛三角形曲边上的一动点,则的最小值为_. 二、单选题(每题5分,共20分) 13.已知函数的部分图象如下所示,其中,为了得到的图象,需将( ) A.函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后,再向左平移个单位长度 B.函数的图象的横坐标缩短为原来的后,再向右平移个单位长度 C.函数的图象向左平移个单位长度后,再将横坐标伸长为原来的倍 D.函数的图象向右平移个单位长度后,再将横坐标伸长为原来的倍 14.数列的前项和(为常数,)是数列成等差数列 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 15.设是的外心,若,则( ) A.2 B. C. D. 16.设复数的共轭复数是,且,又复数对应的点为与为定点,则函数取最大值时在复平面上以,三点为顶点的图形是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 三、解答题(14+14+14+16+18=76) 17.(6+8)在中,内角所对的边分别为,且. (1)若,求; (2)若,求. 18.(6+8)已知数列的前项和, (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 19.(6+8)如图,在平行四边形中,点是的中点,点分别是的三等分点.设. (1)用表示; (2)如果有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 20.(4+6+6)设复数满足. (1)若满足,求; (2)若是实系数一元二次方程的两个虚根,求的值; (3)若,是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 21.(4+6+8)已知集合,O为坐标原点,若,,、,定义点之间的距离为 (1)若,求的值; (2)记,若(为常数),求的最大值,并写出一组此时满足条件的向量、; (3)若,试判断“存在,使”是“”的什么条件?并证明你的结论. 参考答案 一、填空题 1.; 2. ; 3.; 4.二; 5.74; 6.; 7.2; 8.①③; 9.5; 10.97; 11.; 12. 二、选择题 13.D; 14.C; 15.C; 16.D 15.设是的外心,若,则( ) A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】设,则, 可得,故. 16.设复数的共轭复数是,且,又复数对应的点为与为定点,则函数取最大值时在复平面上以,三点为顶点的图形是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【解析】,设, 当,即,时取得最大值, 最大值为, 此时,, , ,则,则对应三角形为等腰三角形, 三、解答题 17.(1)1 (2)b=1或b=2 18.(1) (2) 19.(1) (2) 证明略 20.(4+6+6)设复数满足. (1)若满足,求; (2)若是实系数一元二次方程的两个虚根,求的值; (3)若,是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)或. (2)或. (3). 【解析】(1)设,则 解得,或,故或. (2)是实系数一元二次方程的两个虚根, 设,则, 由题意得,, 解得,或;故或. (3)设,则,由得, 故. 21.(4+6+8)已知集合,O为坐标原点,若,,、,定义点之间的距离为 (1)若,求的值; (2)记,若(为常数),求的最大值,并写出一组此时满足条件的向量、; (3)若,试判断“存在,使”是“”的什么条件?并证明你的结论. 【答案】(1) (2) ; (3)存在,使"是”的充分不必要条件 【解析】(1)若,, 若,即,解得 又,所以的值为. (2)设,,, ,所以 可取; (3)“存在,使”是”的充分不必要条件, 证明如下:充分性. 若存在,使, 故 故充分性