上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（2023.6）

上海中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（每题3分，共36分） 1．已知复数，i为虚数单位，则______． 2．已知点，，若点P满足，则点P的坐标为______． 3．已知复数z满足，i为虚数单位，则______． 4．已知非零向量、满足且，则与的夹角为______． 5．在正方体中，AC与BD交于点O，则直线与直线所成角的大小为______． 6．已知复平面上平行四边形ABCD的顶点，、、按逆时针方向排列，则向量所对应的复数为______． 7．设，则集合的子集个数为______． 8．已知向量，，的夹角为，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 9．如图，P为平面ABCD外一点，底面ABCD，，，，，若E为棱PC上一点，满足，则______． 10．已知复数，，i为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为______． 11．在中，D，E，F分别为边BC，CA，AB上的点，且，，．设P为四边形AEDF内一点（P点不在边界上），若，则实数的取值范围为______． 12．已知的外接圆圆心为O，，，，若有最小值，则参数t的取值范围为______． 二、选择题（每题4分，共16分） 13．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 14．已知O为所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足，则点P的轨迹一定过的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（ ） A．直线直线CD B．直线直线PQ C．直线直线ED D．直线平面ADE 16．已知个两两互不相等的复数，，…，，，，满足，且，其中，2；，1，2，…，k），则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题（本大题共有5题，共48分，解答时必须写出必要的步骤） 17．（本题9分）已知，，． （1）求与的夹角； （2）求的值． 18．（本题9分）如图，P为平面ABCD外一点，底面ABCD，四边形ABCD是矩形，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （1）当点E为BC中点时，求证：平面PAC； （2）求证：无论点E在边BC的何处，都有． 19．（本题9分）已知关于x的实系数一元二次方程． （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，i为虚数单位，求实数m的值； （2）记方程的两根为，，若，求实数m的值． 20．（本题10分）利用平面向理的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中，）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，i为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中i为虚数单位，），求复数z． 21．（本题11分）如图，已知O是边长为1的正的外心，，，…，为BC边上的等分点，，，…，为AC边上的等分点，，，…，为AB边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求的值（用含j，k的式子表示）； ②若，分别求集合M中最大元素与最小元素的值． 参考答案 一、填空题 1.-1； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.8； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.在中，D，E，F分别为边BC，CA，AB上的点，且，，．设P为四边形AEDF内一点（P点不在边界上），若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】如图,设则为的五等份点, 过作交于.依题意有, 连接并延长交直线与.可得. . ,. .故答案为: 12． 已知的外接圆圆心为O，，，，若有最小值，则参数t的取值范围为______． 【答案】 【解析】取中点E,则且平分, ,, 令,则,有最小值, 根据二次函数的性质可知, 故答案为:。 二、选择题 13.A； 14.C； 15.B； 16.C 15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形AB