上海师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（2023.6）

上师大附中2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 1、 填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知向量,且,则 . 2.已知等差数列前项和为且满足,则 . 3.设复数满足,则 . 4.函数的最大值为 . 5.已知数列满足,则 . 6.最早发现勾股定理的人应是我国商朝数学家商高,根据文献记载,商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题,所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理. 现有满足“勾三股四弦五”,其中为弦上一点(不与重合),且满足“勾三股四弦五”,则 . 7.已知平面向量满足,且,则的值为 . 8.将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量,那么对应的复数是 . 9.若实系数一元二次方程的两个复数根为,且,则实数的值为 . 10.已知函数,图像上的每一点的横坐标缩短到原来的,得到的图像,的部分图像如图所示,若,则 . 11.若一个整数数列的首项和和末项都是1,且任意相邻两项之差的绝对值不大于1,则我们称这个数列为“好数列”,例如是一个好数列.若一个好数列的各项之和是2021,则这个数列至少有 项. 12.若,平面内一点满足,则的最大值为 . 二、填空题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第题每题5分) 13.若虚数满足是实数,则满足（ ） (A)实部是; (B)实部是; (C)虚部是; (D)虚部是. 14.现有命题:,用数学归纳法探究此命题的真假情况,下列说法正确的是（ ） (A)不能用数学归纳法判断此命题的真假; (B)此命题一定为真命题; (C)此命题加上条件后才是真命题,否则为假命题; (D)存在一个无限大的常数,当时,此命题为假命题. 15.若非零不共线的向量满足,则（ ） (A) (B); (C); (D). 16.某游戏开始时,有红色精灵个,蓝色精灵个. 游戏规则: 任意点击两个精灵,若两精灵同色,则合并成一个红色精灵;若两精灵异色,则合并成一个蓝色精灵,当只剩下一个精灵时,游戏结束.那么游戏结束时,剩下的精灵颜色为（ ） (A)只与的奇偶性有关; (B)只与的奇偶性有关; (C)与的奇偶性都有关; (D)与的奇偶性都无关. 三、解答题(本大题共5题) 17.(本题满分14分) 已知函数 (1)求的单调增区间; (2)设是锐角三角形,角的对边分别为,若,求的面积. 18. (本题满分14分) (1)公元1545年,意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分,使其积为40”的问题,即“求方程的根”,卡尔丹求得该方程的根分别为,数系扩充后这两个根分别记为i 若,求复数; （2）为了求方程的虚根,我们可以把原方程变形为,则由此可以求得原方程的一个虚根,试求的实部. 19. (本题满分14分) (1)《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是一个整数除以三余二除以五余三、除以七余二,求这个整数.设这个整数为,当时,试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,大鼠“壮壮”日 二尺,小鼠'果果'亦二尺。大鼠·壮壮'日自三分之二,小鼠‘果果'日自半。问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说,有一堵十尺厚的墙,两只老鼠从两边向中间打洞,大老鼠“壮壮”第一天打二尺,小老鼠“果果”也是二尺。大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍,小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时,两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 20.(本题满分18分) 公元263年,刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法,算得值为3.14,我国称这种方法为割圆术,直到1200年后,西方人才找到了类似的方法,后人为纪念刘徽的贡献,将3.14称为徽率. 我们作单位圆的外切和内接正边形,记外切正边形周长的一半为,内接正边形周长的一半为. 通过计算容易得到:(其中是正边形的一条边所对圆心角的一半) (1)求的通项公式; (2)求证:对于任意正整数依次成等差数列; (3)试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由