上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上外附中2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（3'×12=36'） 1．实数与的等比中项为_________． 2．复数满足（i为虚数单位），则的取值范围是_________． 3．若各项均为正数的等比数列中，，则_________． 4．在中，为边的中点，则的外接圆面积与的外接圆面积之比为_________． 5．若数列的通项公式为，则_________时取到最大值． 6．若均为复数，则下列结论中正确的有_________．（填所有正确的结论序号） （1）若，则． （2）若，则． （3）． （4）若，则． 7．若公差不为零的等差数列的前项和为，满足，则中不同的数值有_________个． 8．若两个平面向量与满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为_________． 9．若数列满足，且，则数列的通项公式为_________． 10．若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是_________． 11．若函数（其中与均为常数，且）有且仅有三个零点，则正实数的取值范围是_________． 12．已知边长为2的菱形中，，点与点是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_________． 二．选择题（3'×4'=12'） 13．若是公比为的等比数列，则“”是“为严格递减数列”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．若点是所在平面内一定点，动点满足（）（其中），则动点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 15．已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（ ） A． B． C．且 D．或，且 16．设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）． A．是等差数列 B．或是等差数列 C．和都是等差数列 D．和都是等差数列，且公差相同 三、解答题（8'+8'+11'+12'+13'=52'） 17．（本题满分8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分） 已知复数满足，且的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数在复平面上对应的点分别为、，求的值． 18．（本题满分8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分） 已知函数，其中． （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围． 19．（本题满分11分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如图，扇形是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点在弧上（不与重合）．现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直于点，街道与垂直于点，线段表示第三条街道．记． （1）若点是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．（精确到1万元） 20．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如果数列满足条件：存在正整数，使得对任意正整数（满足）均成立，那么称数列为级等差数列． （1）若数列为1级等差数列，且，求． （2）若数列为2级等差数列，且前四项依次为1，2，3，8，求及； （3）若数列为3级等差数列，且（为常数），求实数的值． 21．（本题满分13分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项是该数列的第几项； （3）若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.506； 6.（4）； 7.2018； 8.10； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.若函数（其中与均为常数，且）有且仅有三个零点，则正实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】函数在上为偶函数,且函数有且仅有三个零点, 故必有一个零点为,所以,解得,所以函数, 则函数在上有且仅有三个零点, 等价于的图象与直线在上有且仅有三个交点, 当时,函数与在上有且仅有一个交点,故; 当时,函数与在上怡有3个交点,如图所示,故, 当时,函数与在上恰有5个交点,如图所示,故. 综上所述,的取值范围是. 12.已知边长为2的菱形中，，点与点是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】, 如图，连接,设交于点 则 以点为原点,所在的直线分别为轴,