重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破02 解三角形图形类问题 目录 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 题型一：妙用两次正弦定理 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 例2．（2023·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形中，，，设． （1）若面积是面积的倍，求; （2）若，求. 例3．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知在四边形ABCD中，，，且______. (1)证明：； (2)若，求四边形ABCD的面积. 变式1．（2023·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，. (1)当时，求的面积. (2)当时，求. 变式2．（2023·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形中，． (1)若，求的面积； (2)若，求． 变式3．（2023·广东·统考模拟预测）在平面四边形中，，. （1）若，，求的长； （2）若，求的值. 变式4．（2023·江苏徐州·高一统考期末）在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 变式5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求. 变式6．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 题型二：两角使用余弦定理 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 例6．（2023·河北·校联考一模）在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使. (1)若，求的余弦值； (2)若，求线段的长. 变式7．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角； (2)若点在上，，，求的值. 变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，. (1)求证：； (2)若，，求的长度. 题型三：张角定理与等面积法 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 例8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 例9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若D为上点，平分角A，且，，求． 变式9．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在中，，，且点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，，求的面积． 变式10．（2023·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在中，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值. 变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 变式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，，求的面积． 题型四：角平分线问题 例10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在中，已知，的平分线与边交于点，的平分线与边交于点，. (1)若，求的面积； (2)若，求. 例11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角的内角A，B，C的对边分