第04讲 解三角形（八大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 解三角形 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2023年I卷II卷第17题，10分 2023年甲卷第16题，5分 2023年乙卷第18题，12分 2022年I卷II卷第18题，12分 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 知识点一：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点二：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 知识点三：实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【解题方法总结】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 题型一：正弦定理的应用 例1．（2023·福建龙岩·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（    ） A． B． C．8 D．4 变式1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习），，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（    ） A．4 B．6 C． D． 【解题方法总结】 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；． （3）两边一对角，求第三边． 题型二：余弦定理的应用 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为满足且，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·河南·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 例6．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC中，角A，B，