第10章 第4节 概率与统计、统计案例的综合题(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　概率与统计、统计案例的综合题 考点一　概率与统计的综合问题 　 破解概率与统计图表综合问题的“三步曲” [典例1]　经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分别在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示： (1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽取2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100 000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有黄桃均以20元/千克收购； B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． (参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5) [解]　(1)由题意知黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2， ∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个． 记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2， 则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种： A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2． 其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为． (2)方案B好，理由如下： 由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001 0＝0.05， 同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05． 若按方案B收购： ∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000个， 黄桃质量不低于350克的个数为55 000个． ∴收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000元． 若按方案A收购： 根据题意各段黄桃个数依次为5 000,16 000，24 000，30 000，20 000,5 000，于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×20÷1 000＝709 000(元)． ∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B． 点评：解答本例第(2)问时，方案A需要算出黄桃的总质量，方案B需要求出黄桃质量低于350克和不低于350克的个数． 某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，如图给出的是甲、乙两企业2015年至2020年在环保方面投入金额(单位：万元)的柱状图． (1)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；(结果保留整数) (2)园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元． ①分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和； ②现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率． [解]　(1)由柱状图可知，甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150,290,350,400,300,400， 其平均数为×(150＋290＋350＋400＋300＋400)＝315(万元)； 乙企业这六年在环保方面的投入金额分别为100,200,300,230,500,300， 其平均数为×(100＋200＋300＋230＋500＋300)≈272(万元)． 综上得，甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数分别为315万元，272万元． (2)①根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励t(单位：万元)是关于该年环保投入x(单位：万元)的分段函数，即t(x)＝ 所以甲企业这六年获得的奖励之和为：0＋20＋50＋50＋20＋50＝190(万元)； 乙企业这六年获得的奖励之和为：0＋0＋20＋20＋50＋20＝110(万元)． ②由①知甲企业这六年获得的奖励数如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 奖励(单位：万元