第10章 第3节 几何概型(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　几何概型 [考试要求]　1．了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义． 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝． 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零． (　　) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． (　　) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． (　　) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率P＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．1 B　[坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为．] 2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) A　　　B　　　 C　　　D A　[∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．故选A．] 3．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　) A． B． C． D． C　[试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝．] 4．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　) A． B．1－ C． D．1－ B　[如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－．] 考点一　与长度(角度)有关的几何概型 　长度、角度等度量的区分方法 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)． (2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段． 　(1)在区间上随机取一个数α，使tan 2α＞1的概率为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． (2)(2022·四川成都二模)在区间(－2,4)内随机取一个数x，使得不等式4x－5·2x＋4<0成立的概率为(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)B　　[(1)∵α∈，∴2α∈，由tan 2α＞1，得＜2α＜，则＜α＜， ∴tan 2α＞1的概率为＝．故选C． (2)由题意知4x－5·2x＋4<0， 即<0，所以1<2x<4，解得0<x<2， 所以不等式4x－5·2x＋4<0的解集为， 所以所求概率为＝． 故选B．] 点评：本例(2)首先需要求解指数不等式，然后结合几何概型概率计算公式，转化为与长度有关的几何概型求得概率． 1．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． B　[如图所示， 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝＝．故选B．] 2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为 ． 　[因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝．] 考点二　与体积有关的几何概型 　与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间