第7章 第5节 立体几何中的综合问题(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　立体几何中的综合问题 考点一　空间中的证明与计算问题 　转化思想在证明与计算中的应用 (1)位置关系的证明 线线平行(垂直)线面平行(垂直)面面平行(垂直)． (2)计算问题 ①等体积法的应用； ②几何体的分割、转化等； ③借用勾股定理证明垂直关系． [典例1]　如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． [解]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点， 所以OP⊥AC，且OP＝2． 连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2． 由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC． (2)作CH⊥OM，垂足为H． 又由(1)可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O， 所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°， 所以OM＝，CH＝＝． 所以点C到平面POM的距离为． 点评：本例在(1)中借助数量关系证明了OP⊥OB，在(2)中借助等面积法求得CH的长，可见数量运算在几何证明及数值运算中的作用． (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分别为AC和CC1的中点，BF ⊥A1B1． (1)求三棱锥F ­EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF ⊥DE． [解]　(1)如图，取BC的中点M，连接EM． 由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF ＝1， EM＝AB＝1，AB∥A1B1， 由BF ⊥A1B1得EM⊥BF ． 又EM⊥CF ，BF ∩CF ＝F ， 所以EM⊥平面BCF ， 故V三棱锥F ­EBC＝V三棱锥E­F BC＝×BC×CF ×EM＝××2×1×1＝． (2)证明：连接A1E，B1M．由(1)知EM∥A1B1， 所以ED在平面EMB1A1内． 在正方形CC1B1B中，由于F ，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF ⊥B1M． 又BF ⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1， 所以BF ⊥平面EMB1A1． 又DE⊂平面EMB1A1， 所以BF ⊥DE． 考点二　平面图形的翻折问题 　解决平面图形翻折问题的步骤 [典例2]　(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BF GC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF ＝2，∠F BC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF 重合，连接DG，如图2． 图1　　　　　　　图2 (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的四边形ACGD的面积． [解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面， 从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE． 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE． (2)取CG的中点M，连接EM，DM． 因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG． 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG， 故CG⊥平面DEM． 因此DM⊥CG． 在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝， 故DM＝2． 所以四边形ACGD的面积为4． 点评：(1)解答本例第(1)问的关键是折叠后AD∥BE，CG∥BE不变． (2)解答本例第(2)问的关键是，根据DE⊥平面BCGE，四边形BCGE是菱形找出四边形ACGD的高． (3)折叠后要把不变的量(长度、角度、平行、垂直关系)对应到空间几何体中，有时计算在平面图形中． (2023·四川成都七中模拟预测)如图1，在边上为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O1，AC∩MN＝G．沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P­ABMND． 图1　　　　　　　　　图2 (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论； (2)当四棱锥P­MNDB体积最大时，求直线PB与平面MNDB所成角的正弦值． [解]　(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG， 证明如下：∵点M，N分别是边CB，CD的中点， 又∠DAB＝60°，∴BD∥MN，且△PMN是等边三角形． ∵G是MN的中点，∴MN⊥PG． ∵菱形ABCD的对角