第7章 第4节 直线、平面垂直的判定及其性质(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　直线、平面垂直的判定及其性质 [考试要求]　1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°． (3)范围：． 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两平面平行． (　　) (2)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α． (　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． (　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3) ×　(4)× 二、教材习题衍生 1．下列命题中错误的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ A　[A错误，l与β可能平行或相交，其余选项均正确．] 2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F 分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S­EF G中必有(　　) A．SG⊥平面EF G B．SD⊥平面EF G C．GF ⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF A　[四面体S­EF G如图所示： 由SG⊥GE，SG⊥GF ， 且GE∩GF ＝G得 SG⊥平面EF G． 故选A．] 3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ． 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC为直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC， 从而BC⊥PC． 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．] 4．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O． (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 心． (1)外　(2)垂　[(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心． 图1　　　　　　　图2 (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G，连接PG． ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB， ∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心．