第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　空间点、直线、平面之间的位置关系 [考试要求]　1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 1．四个公理 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 拓展：公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：． 拓展：异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． (　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 C　[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．] 2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F 分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF 所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[连接B1D1，D1C(图略)， 则B1D1∥EF ， 故∠D1B1C为所求的角， 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°．] 3．两两平行的三条直线可确定 个平面． 1或3　[若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．] 4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F ，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件 时，四边形EF GH为菱形； (2)当AC，BD满足条件 时，四边形EF GH为正方形． (1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四边形EF GH为菱形， ∴EF ＝EH，∴AC＝BD． (2)∵四边形EF GH为正方形，∴EF ＝EH且EF ⊥EH， ∵EF ∥AC，EH∥BD，且EF ＝AC，EH＝BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD．] 考点一　平面基本性质的应用 　共面、共线、共点问题的证明 [典例1]　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F 分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F ，DA三线共点． [证明]　(1)如图，连接EF ，CD1，A1B． ∵E，F 分别是AB，AA1的中点， ∴EF ∥BA1． 又∵A1B∥D1C，∴EF ∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面． (2)∵EF ∥CD1，EF <CD1， ∴CE与D1F 必相交，设交点为P， 则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD． 同理P∈平面ADD1A1． 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F ，DA三线共点． 点评： 本例第(1)问的证明应用了公理2的推论，采用线线共面，则线上的点必共面的思想；本例第(2)问的证明应用了公理3，采用先证明CE与D1F 相交，再证明交点在直线DA上． 1．有下列四个命题： ①空间四点共面，则