第7章 第1节 空间几何体的结构及其表面积、体积(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 高考在本章一般命制2道小题、1道解答题，分值约占22分． 2．考查内容 (1)小题主要考查三视图、几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较综合，难度稍大． (2)解答题一般位于第18题或第19题的位置，常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算，属于中档题目． 　空间几何体的结构及其表面积、体积 [考试要求]　1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式． 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点　　 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 4．三视图与直观图 三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测画法： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图　 侧面积公式　 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 6．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 　　　　名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 2．多面体的内切球与外接球常用的结论 (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a． (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝． (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． (　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (　　) (3)菱形的直观图仍是菱形． (　　) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．如图所示，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 C　[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．] 2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B．π C．8π D．4π A　[由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A．] 3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr