第6章 第2节 等差数列及其前n项和(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　等差数列及其前n项和 [考试要求]　1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝． 3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数． (2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． 4．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d． (5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的． (6)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝． (7)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝． (8)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　) A． B． C．2 D．－ A　[∵a4＋a8＝2a6＝10， ∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝＝＝．故选A．] 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 B　[设数列{an}的公差为d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 又a6＝2， ∴S8＝＝ ＝＝32． 法二：由得 ∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32．] 3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为 ． 487　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487．] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为 ． 820　[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820．] 考点一　等差数列基本量的运算 　解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 1．(2022·四川巴中一模)已知Sn为等差数列的前n项和，若a5＋6＝2a7，则S17的值为(　　) A．49 B．54 C．102 D．135 C　[设等差数列的公差为d， 则a5＋6＝2a7，即a7＋a7－a5＝6，a7＋2d＝6，a9＝6， 故S17＝×17＝×17＝17a9＝102．故选C．] 2．(2023·衡水