第6章 第1节 数列的概念与简单表示法(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分． 2．考查内容 (1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主． (2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等． 　数列的概念与简单表示法 [考试要求]　1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． (　　) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列． (　　) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式． (　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝± B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n＋1· D．an＝ B　[由a1＝－1，代入检验可知选B．] 2．在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，则a2 023＝(　　) A．－3 B．－ C．5 D． B　[a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝，a4＝1－＝1－＝－，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 023＝a1＝－．] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ ． 　[当n＝1时，a1＝S1＝2． 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 故an＝] 4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ ． 5n－4　[由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4．] 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 　已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ [典例1]　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ ． (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ ． (1)4n－5　(2)　[(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此式，∴an＝4n－5． (2)当n＝1时， a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝(n≥2)． 显然当n＝1时不满足上式， ∴an＝] 点评：Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误． 1．(2022·四川绵阳三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，an＋1＝Sn＋5，则S5＝ ． 123　[由已知，a1＝3，an＋1＝Sn＋5①， 当n＝1时，a2＝S1＋5