第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 本章在高考中一般为2～3个客观题． 2．考查内容 (1)高考对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档． (2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题． 　平面向量的概念及线性运算 [考试要求]　1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律： a＋b＝b＋a； ②结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ①|λa|＝|λ|·|a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa． 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一． 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋)． 2．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋)． 3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 4．对于起点相同、终点共线的三个向量，，(O与P1P2不共线)，总有＝u＋v，u＋v＝1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1． 5．对于任意两个向量a，b，都有： (1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； (2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　) (2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．给出下列命题：①若a与b都是单位向量，则a＝b；②平面上直角坐标的x轴、y轴都是向量；③若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；④海拔、温度、角度都不是向量，则所有正确命题的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ D　[①错误，虽然单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．] 2．已知下列各式： ①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－． 其中结果为零向量的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①中＋＋＝0；②中＋＋＋＝＋0＝；③中＋＋＋＝＋＝；④－＋－＝＋＝0．故①④正确，故选B．] 3．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝ ，＝ ．(用a，b表示) b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．] 4．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝ ． 　[∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ使得λa＋b＝μ(a＋2b), ∴∴] 考点一　平面向量的概念 　解答与向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．