第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的综合应用(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　正弦定理、余弦定理的综合应用 [考试要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 测量中的几个常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡度 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝＝tan θ 提醒：涉及角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是正南方向线，向西旋转30°得到终边． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向． (　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°． (　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． (　　) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．点A在点B的北偏东60°，则点B在点A的(　　) A．北偏西60°　　　　 B．南偏东30° C．南偏西60° D．北偏西30° C　[如图所示，点B在点A的南偏西60°，故选C． ] 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m A　[由正弦定理得＝， 又∵B＝30°，∴AB＝＝ ＝50(m)．] 3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝ ． a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，所以AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a．] 4．(2023·四川安岳模拟预测)如图，某中学校园中有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是 m． 30　[由题意知：∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，∠ADB＝30°，CD＝60，设AB＝x，则BC＝＝x，DB＝＝x， BD2＝CD2＋CB2－2CD·CB·cos，即3x2＝3 600＋x2－2×60×x×，解得x＝30或－60(舍去)．所以钟楼AB的高度是30 m．] 考点一　解三角形的实际应用 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 [典例1]　(1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 (2)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ． (1)B　(2)80　[(1)如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝． 在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝． 又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373． (2)由已知得，