第4章 第6节 正弦定理、余弦定理(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　正弦定理、余弦定理 [考试要求]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3) ＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，要注意正、余弦定理的选择，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁． 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－． 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin ． 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 4．三角形中的大角对大边 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． (　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B． (　　) (3)在△ABC中，＝． (　　) (4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． D　[由＝得b＝＝＝×2＝．] 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． C　[由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5， 由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－． 又因为∠BAC是△ABC的内角， 所以∠BAC＝，故选C．] 3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B， 所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．] 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝ ． 7　[S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin ＝a＝，解得a＝3． ∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49， ∴b＝7．] 考点一　利用正、余弦定理解三角形 　解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A， 法一：由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 法二：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可求出边c，可能有一解或两解或无解的情况；再由余弦定理求B，C． [典例1]　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． [解]　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A ＝sin Bsin Ccos A－sin Bsin Acos C， 所以ac·－2bc· ＝－ab·， 即－(b2＋c2－a2)＝－， 所以2a2＝b2＋c2． (2)因为a＝5，cos A＝， 由(1)得b2＋c2＝50， 由余弦定理可得a2＝b2＋c