第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　同角三角函数的基本关系与诱导公式 [考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝． 提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z． 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． (3)sin α＝tan αcos α． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1． (　　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．化简sin 690°的值是(　　) A． B．－ C． D．－ B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－．故选B．] 2．若sin α＝，＜α＜π，则tan α＝ ． －　[∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－．] 3．已知tan α＝2，则的值为 ． 3　[原式＝＝＝3．] 4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． －sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α．] 5．已知＝，则＝ ． －　[＝＝＝－＝－．] 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 　“知一求二”问题 　对sin α，cos α，tan α的知一求二问题 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 1．(2022·山东临沂高三一模)已知α∈(0，π)，若cos α＝－，则tan α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ D　[因为α∈(0，π)，cos α＝－， 所以α＝，tan＝－．] 2．(2023·四川德阳中学月考)已知角α终边在第一象限，sin α＝k，那么tan α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ C　[因为α在第一象限，则cos α＝＝，所以tan α＝＝．] 3．已知α∈，tan α＝cos α，则sin α＝(　　) A． B． C． D． C　[由tan α＝＝cos α，得cos2α＝， 代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋＝1， 即sin2α＋sin α－＝0． 解得sin α＝．故选C．] 　sin α，cos α齐次化切 　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解． [典例1－1]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2023·四川叙永第一中学校高考模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝(　　) A．7 B． C． D． (1)C　(2)A　[(1)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝．故选C． (2)因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝， 平方得1＋2sin θ cos θ＝，则＝＝， 解得tan θ＝7或tan θ＝． 又因为θ∈，所以tan θ＝7． 点评：解题中要注意sin2α＋cos2α＝1的应用． 　si