第3章 命题探秘1 第3课时 利用导数解决函数的零点问题(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

第3课时　利用导数解决函数的零点问题 技法阐释 1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路： (1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； (2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0． 2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： 第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调； 第二步，证明端点的函数值异号． 3．已知函数有零点求参数范围常用的方法： (1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 高考示例 (2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 技法一　讨论或证明函数零点的个数 [典例1]　已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1．证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [思维流程] [证明]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－． 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0， 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0． 又当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 因此，f(x)存在唯一的极值点． (2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0， 所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝a． 由a>x0>1得＜1＜x0． 又f ＝ln－－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根． 综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 点评：根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”． 　已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝2时，求函数g(x)＝f(x)－cos x在上的零点个数． [解]　(1)f(x)＝ex－ax，其定义域为R，f′(x)＝ex－a， ①当a≤0时，因为f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增， ②当a>0时，令f′(x)>0得x>ln a，令f′(x)<0得x<ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 综上所述， 当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． (2)由已知得g(x)＝ex－2x－cos x，x∈， 则g′(x)＝ex＋sin x－2， ①当x∈时，因为g′(x)＝(ex－1)＋(sin x－1)<0， 所以g(x)在上单调递减，所以g(x)>g(0)＝0，所以g(x)在上无零点； ②当x∈时，因为g′(x)单调递增，且g′(0)＝－1<0，g′＝e－1>0， 所以存在x0∈，使g′(x0)＝0， 当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0， 所以g(x)在[0，x0)上单调递减，在上单调递增，且g(0)＝0，所以g(x0)<0， 又因为g＝e－π>0，所以g(x0)·g<0， 所以g(x)在上存在一个零点，所以g(x)在上有两个零点； ③当x∈时，g′(x)＝ex＋sin x－2>e－3>0，所以g(x)在上单调递增， 因为g>0，所以g(x)在上无零点． 综上所述，g(x)在上的零点个数为2． 技法二　已知函数零点个数求参数的取值范围 [典例2]　(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)