3.1.2 椭圆的简单几何性质-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

因为M,N是椭圆C上的点， 所以x7+2y=2,x+2y=2. 点Q(x0)在椭圆十。上，所以号+22D 所以(x1+3x2)2+2(y1+3y2)2=20,即(x号+2y)+9(x号+ 2y2)+(6.x1x2+12y1y2)=20, 所以2+9×2+6(x1x2十2y1y2)=20,即2y1y2=-x1x2. 则直线OM与ON的斜率之积koM·koN=12=一 X1X2 2,即 直线OM与ON的斜率之积为定值！ 培优突破练 1.ABD[设A(m,n),则B(-m,-n),D(m,0), ku一升k健=长o一烈k细=之a 71 1 ① a2 一2，六kA证·km=一2 ② 由①②得ke·古u=一， kAE·kAB=一1，.AE⊥AB,故A正确， (5m=号·0D1la-a=是·m·21a,只名求 mn的最值) 由A的分析可知%+号-1，不纺设点A在第一象限，则 m>0,n>0, 当且仅当m=2w2,n=2时取等号 1=m2+n2 =6+8≥2√6×8，六mm≤4E,故S6um= 2mX2m=mn≤4√2，故B正确。 由题意知C后+苦-1的左焦点为F(一2,0，设右熊 点为F'(2√2,0)，a=4,b=22,则根据椭圆的对称性可知 IBF|=|AFI,故△ABF的周长为2a+|AB|=8+|AB|, 而AB|的最小值为椭圆的短轴长2b=42,由题意可知AB不 能与椭圆的短轴重合，故△ABF的周长大于8十4W2,C错误 由C的分析可知|AF|+|BF|=|AF|十|AF'|=2a=8, 故a+品-吉(+B品)AF1+BFD 161/1 =+器+15) 多县仪多AF-令，BF= BF 一号时来等号 ≥(7+2 BF 16AFT25 BF)=8,D正确.] 3.1.2椭圆的简单几何性质 变武训练 [变式1门受.[椭圆C的方程可化为（后 x +y2=1, (=cos0 令 =5cos 0, 得 因为点P在C上，故可设 y=sin 0, y=sin 0, P(√5cos0,sin0).又椭圆C的上顶点为B(0,1), 42 所以|PB|=√(0-√5cos0)2+(1-sin0)2 观察发现，若将cos20换成1一sin20,则可将函数名统一成sin0, 再换元化二次函数分析最值 =v5cos20+1-2sin 0+sin20, 所以|PB|=√5(1-sin0)+1-2sin0+sin0 =/-4sin20-2sin0+6, 令t=sin0,则-1≤t≤1，且|PB|=√-4t-2t+6= 4++， 所以当：=时，PB取得最大值号] [变式2](1)因为经过(c,0)和(0，b)两点的直线的截距式方程 为经+若=1，即x+ey-bc=0, -bcbcbc 所以原点到该直线的距离d= √6+元aa, 由题意得g-分，所以a=2b, 故a2=462=4a2-4c2,则椭圆E的离心率e=￡=5 a2· (2)(已有a=2b,为方便分析，可将其代入椭圆方程，减少字母的个数) 将a=2必代人椭圈的方程可得高+芳-1，两端同乘以 3y2 4b2,得x2+4y2=462. (椭圆的弦AB是圆M的直径，这意味着圆心M为弦AB的中点，涉 及弦中点，想到中点弦斜率积结论) 设A(x1y1),B(x2,y2),因为AB是圆M的直径，所以AB 的中点为M(-2,1,故21十=-4，① y1+y2=2.② x1+4y=462, 又点A,B在椭圆上，所以 两式作差得(x1 x2+4y2=462, +x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 结合①②得-4(x1-x2)十8(y1-y2)=0,所以kAB= 要2放AB的方程为y1+0即-3y一4 (有了AB的方程，注意到圆M的直径AB是已知的，故可将直线 AB的方程代入梢国，用梢圆的弦长公式计算弦长AB,从而建立 方程求b) x=2y-4, 联立 x2+4y2=462, 消去x整理得2y2-4y+4-b2=0, 判别式△=862一16， 则1AB=1+2·1y1-y=5.√8616 2 又由所给圆M的方程可知|AB=2x=√10 所以5.√6216-0，解得62=3，从而a=46- 2 12,放箱圆E的方程为后+芳-1第三章圆锥曲线的方程_通 3.1.2椭圆的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：椭圆的几何性质， 1.掌握椭圆的简单几何性质。 难点：椭圆几何特征的发现 2.理解直线与椭圆的位置关系。 必备知识梳理 基础梳理 知识点(1 椭圆的简单几何性质◆明概念 明概念D 1.离心率e对椭圆形状的 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 影响 因为e==√1-(， 图形 B B 所以当 趋近于1时，e趋近于 0,即椭圆的短半轴长越接近于 长半轴长时，椭圆越接近于圆； 标准方程 x2,y2 a2+6-1(a>b>0) y2x2 a2621 =1(a>b>0) 当6 越趋近于0时，e趋近于1， 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 即椭圆短半轴长远小于长半轴 A1(-a,0),A2(a,0), A1(0,-a),A2(0,a), 长，此时椭圆越扁平，所以离心 顶点 B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 率刻画的是椭圆的“圆扁程度” 轴长 短轴长为2b,长轴长为2a 2.特征三角形十最大角定理 如图所示，P为椭圆上任意 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 一点，则 焦距 1F1F2=2c (1)e=cos∠OFzB2; 对称性 关于x轴、y轴对称，(0,0)为对称中心 (2)当P在B1(或B2)时， e=c b2 ∠FPF2最大，∠APA2也最 离心率 (0<e<1) a 大（见前一节“重难拓展”） y [理解] 1e=后，由于a>c>0,所以0e<1 B.P a 椭圆的离率对椭圆形状的影啊：椭圆大” +62=1(a> FA B b>0)的长半轴长为a,当c越接近于a,这时椭圆就越扁；当c越 接近于0，这时椭圆就越圆。一数发结=0时，商个么点重合情 (3)椭圆的圆扁程度由离心率ε的大小确定，与椭圆焦点位置 无关，椭圆与圆是两种不同的曲线 101 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 知识点2直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图示 交点个数 0 1 判定方法 △<0 △=0 △>0 [注意]△指的是直线与椭圆的方程联立，消去y或x后， 可得到关于x或y的一元二次方程的判别式. 2.弦长问题◆作此较回 作比较回 ? 设直线方程为y=x十m,椭圆方程为 +6=1(a>b>0, 若直线方程为x=my十t, [x=my+t, y=kx十m, z2+y 消去x得方程 联立方程得 (a2+6=1 A1y2+B1y+C1=0, 消去y得方程Ax2十Bx十C=0(A≠0) 则|PQ1=√1+m21y1 设直线与椭圆的两个交点分别为P(x1y1),Q(x2y2), 瓷 (4=Bi- 则|PQ|=√(x1-x2)+(y1-y2) 4A1C1). =√(x1-x2)+(kx1十m-kx2-m)2 x=my+t(m≠0)， =1+k2|x1x2=√/1十b2·√(x1+x2)2-4x1x2 y2 总 a+6-1 (这个形式只与直线有关，即任意两，点的弦长都可以用距高公式来求) 去y得A2x2+B2x十C2=0, --E分a=B-4Ac. 1 《这个形式与直找和曲线联立的方程组有关) 则PQ|=√1+m y=kx十m(k≠0)， 1 √a 理由总士影又、 消去x得方程A'y2+B'y+C -4A2C2). =0(A′≠0)， 则PQ= y1-m_y2一m +(y1-y2)2 102 第三章圆锥曲线的方程通 3.过一点P(xo,yo)作椭圆的切线◆扬视野 拓视野⊙ (1)当P(o)在椭圆之十 2十21(a60)E时，有且只有 (1)当P(xo,yo)在椭圆上 时，设切线方程为y=k(x一x) ly=k(x-xo)+yo, 一条切线，切线方程为2o2+Yy=1. a2 62 +y0,由x2y2 带 a2t6=1 ②)当Py,)在稍圆号 +2=1(a>b>0)外时，有且只有 去y得(a232+b2)x2+2ak(y kxo)x+a2(yo-kzo)2-a2b2= 两条切线，设两条切线分别与椭圆交于A,B两点，则直线AB的 方程为。+1 0由△=08(gk+8小 62 =0,解得飞= b2yo a2zo 知识点(3椭圆的第二定义◆题板 将= by0代入y=k(x a'xo 平面上到定点和到不过该定点的定直线的距离之比等于常数 一x)十y。中，化简得切线方程 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆，该定点是椭圆的焦点，定直线是与 焦点对应的准线，常数e即为椭圆的离心率， 为乙工+y=1(当不存在 b2 以焦点在x轴上的椭圆为例，有左焦点F(一c,0)和右焦点 时，切线方程包含上式) (2)当P在椭圆外时，设两 F2(c,0),与之对应的也有左准线11：x= a和右准线l2:x= 切，点A(x1,y),B(x2,y2),则切 PFPF2 线PA的方程为誉+器-=1 如图，椭圆上任意一点P满足 d d2 =e,其中d1, 切线PB的方程为+哭=1 d2分别表示点P到左准线l1和到右准线l2的距离. a2b2 因为P(x0,yo)在切线上， L1:x= =4 (zoz1yoy=1, a2 所以 xozzyoy2=1, (a2 b2 由椭圆的第二定义，上图中椭圆上的点构成的集合可以表示 所以A,B都在直盘产十 PF =e,0<e<1或Pd, PF2 =e,0<e<1. 器1上 又过A,B两，点有且只有 培优突破 条切线，所以直线AB的方程为 突破点①点差法十垂径定理 o+yo'=1. 1.设A),B是椭圆后+=1a≥6>0上两个 a2- =1, 两式相减得 (x1+x2)(x1-x2) 敲黑板⊙ 不重合的点，则 zz,y a? 1.椭圆的第二定义来自圆 a2 621, 锥曲线的统一定义，体现了三者 y+y1-2)=0,2是直线AB的斜率，（1 (梢圆、双曲线、抛物线) b2 x1一x2 29 之间的关系。 103 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA y十)是线段AB的中点，此种方法称为代点作差法，简称点 2.焦半径的坐标公式推导 2 设P(xo,ya)为椭圆上任意 差法， 一点，则|PF1|=ed1=e（xo十 2已痴AB是韬图。+若-=1a>6>0)不垂直于：轴的任 2+2 9）-a+a,Pr,=d, 意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线AB和直线 c(-x)-c-a. OP的斜率之积是定值6.+ [说明]这个公式可不用 第二定义推导，直接用两点间距 例口(I)已知斜率为长的直线1与椭圆C.号+苦=1交于 离公式推导，见前一节“重难 拓展” A,B两点，线段AB的中点为M1,m)m>0),求证：k<- 2)已知椭圆E:+1(a>6>0)的右焦点为F(3,0 记方法过 过点F的直线交椭圆E于A,B两点，若AB的中点坐标为(1，一1)， 1.椭圆的垂径定理与圆的 则椭圆E的方程为 垂径定理类似。 2.椭圆的垂径定理把椭圆 解析(1)设A(x1y1),B(x2y2), 的离心率、弦所在直线的斜率与 (+=1, 43 弦中点坐标联系在一起，三者知 则 (与中点有关可优先使用点差法) 二求一 二e b2(x1+x2)3X13 x1一x2 a2(y1+y2) 4Xm Am 又点M在描圆内，十g,0%3 2,k=-3<-1 Am 21 (2)设AB的中点为P,O为坐标原点，kB= -(-1)_1 31=2>ko如三7 所以a2=2b2,由右焦点为F(3,0)可得a2-b2=c2=9, 解得b2=9,a2=18, 所以椭圆E的方程为8十9 =1. 答案(1)见解析. (2)2+y2 18+9-1. 重难拓展 44040 重难点1椭圆参数方程的应用 有国2人之2」 =1(a>b>0)对应的参数方程为 (x=acos a, 62 a y=bsin a 为参数，a∈R). 104 第三章圆锥曲线的方程通 例包[回归教材P16T13改编]已知P是椭圆C:号+y-】 上的动点，直线l:x一2y一4=0，则点P到直线l的距离的最小值 记方法回 为 在例2中，目标距离可用 解析由题意，可设P(W5cos0,sin0),则，点P到直线l的距离d= 点P的坐标表示，故可考虑设 坐标，怎么设？可以想象，若设 5cos 0-2sin 0-41 12sin 0-5cos 0+4113sin P(xo,yo),则目标距离d= √12+(-2)2 √5 √5 1x0-2y0-4 √5 ,该式中x0,y0 满足tanp=一 且g(-5o 都只有一次项，不方便利用椭 因为-1≤sin(0+p)≤1，所以1≤3sin(0+p)+4≤7，从而5 圆的方程消元，故考虑设三角 ≤ 形式 13sin(0+p)+47W5 ,故dnn 5· ◆记方法回 5 6 希案汽 深挖教材 椭圆的参数方程 、、黄圆三×之2 6=1(a>b>0)的参数方程 x=acos a, 中α角的几何 y=bsin a 意义. 小辅助圆的半径为b,大辅助圆的半径为a, 设M(a cos a,bsin a)为椭圆上的任意一点，如图，过点M作垂直于 长轴的直线交大辅助圆于点A,作垂直于短轴的直线交小辅助圆于点 B(M,A,B在同一象限)，则角α是以x的非负半轴为始边，以OA(OB) 为终边的角，也叫离心角，而不是以OM为终边的角0 只有当点M为顶点时，a与0角的终边相同. y ∠xOA=a A∠xOM=0 2.用椭圆的参数方程表示椭圆上的点的坐标，可以把，点坐标中的双 变量变成单变量，再结合三角公式，方便解决，点点距离和，点线距离， ©0已知P是稀网C:号+y°=1上的动点，B是桶圆C 的上顶点，则PB的最大值为 105 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 关键能力提升 题型（①根据椭圆的几何性质确定标 当精圆的焦点在y轴上时，其方程为 62 准方程 例③根据下列条件分别求椭圆的标准 1,结合a=Ec,b=c得义t ④ 方程. 0)与转圆号+号 将(1,2)代入④得2+1 =1,所以c2-3,故精 =1有相同的焦点，且 圆的标准方程为+之 31. 经过点（√3,2）； （②)经过点1,2，且与椭圆号+苦-1有 综上所述，满足题意的椭圆的标准方程为 9 y2 相同的离心率 9 =1或+x2 63=1. 解析(1)所给椭圆的焦点在y轴上，设其半焦距 2 为c,则c=√4-2=√2，故所求椭圆的焦点为(0，士√2)， 例④(2026·江苏南京外国语学校检测) 设所求箱國的标准方程为+后-1>6 如图，椭圆之y -1(a>b>0)的离心率e= 0),则a2一b2=c2=2. ① 又因为所求椭圆经过点(3,2)， 3,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是 所以+W3)=1 椭圆上任意一点，若P℉·PA的最大值是12， 62 ② 求椭圆的方程。 联立①②解得b2=6,a2=8, 所以所求椭圆的标准方程为义 61. A元 (②)所给椭圆的离心率e=26- /12 ?,设所求 椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a,b,c,则 解析（因为A,F是定点，所以P下·PA应优先考虑用 &-2,所以a=2c,故b=Va-C-2c2-c c_2 极化恒等式来转化) =c. 设PM为F,A的中点，则M2,0, （离心率无法决定椭圆的焦，点在哪个坐标袖，故需讨论焦 1 a3, =c,即M为右焦点. 点在x轴、y轴两种情况) 当椭圆的焦点在工轴上时，其方程为大 pP啦，Pi-Pi-(, 1,结合a=巨c,6=c得十 ∴.PF.PA=|PM|2-4c2. ③ .a-c≤|PM≤a+c,∴.4c2≤IPM2≤16c2, 12,22 将(1,2)代入③得 =1,所以c2=9 ,故椭 ∴.PM2-4c2≤12c2,(当P为左顶，点时取“=") ∴.12c2=12,.c=1,a=3,b=2W2, 圆的标淮方程为行大 91; 2 “前网的方程为号+黄-山 106 第三章圆锥曲线的方程通 题型②椭圆的离心率 归纳总结 在椭圆中（如左栏图）， 求椭圆的离心率，需要利用图形的几何特 有 n 2c m十n 征，结合椭圆的定义和性质，寻找a,b,c满足 sinsin asin(sin sin a 2 的等式，而求离心率的取值范围，就需要构建 sin(a++B)' a,b,c的不等式 则e= sin(a+8) a sin a+sin B 例日已知箱圆后+若。>>0的左，右 2× 题型3直线与椭圆的综合问题 焦点分别为F1(一c,0),F2(c,0),若椭圆上存 1.直线与椭圆的相交弦 若直线y=kx十m(k≠0)与椭圆相交于 在一点P, a sin☑PFF。-sin/PF,F,则该 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则|AB=√1+k· 椭圆的离心率的取值范围为 x1-x2或AB=1+ ·|y1-y2.(弦 解析如图，设∠PF1F2=a,∠PF2F1=B,PF1| 长公式) =m,PF2|=n, 2.中点弦问题 处理椭圆中的中点弦问题主要有三种 途径 (1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方 (通法：有关弦长问题都适用) 程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数 的关系及中点坐标公式求解 在△PFF2中，sin sin a (2)点差法：设出弦的两个端点的坐标，代 (与弦中点有关的问题或涉及x1十x2, sin a sin B' y1十y2的问题) 入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 ∴=mg，（到用m十=2) 关系 m sin B c (只要能得到两点坐标之间关系一般都 严适用，但有时计算量大) :m十n=a十c :2-a+c 2ac (3)中点转移法：先设出一个端点的坐标， .∴.m m C m a十c, 再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别 即|PF,I=2ac 代入椭圆方程作差即可， atc 例⑥(2026·西安高新一中检测)已知椭 ,|PF1|∈(a-c,a十c)(P,F1,F2三点不共线)， a-<4eac -=1的弦AB的中点M的坐标为 4 (2,1),求直线AB的方程. ∴.c2+2ac-a2>0,∴.e2+2e-1>0, 解析方法一易知直线AB的斜率存在，设直 .e>√2-1或e<-√2-1（舍去）. 线AB的方程为y一1=k(x一2). [y-1=k(x-2), 又e∈(0,1)，∴W2-1<e<1. 得(4k2+1)x2-8(2k2- 答案(W2-1,1). 107 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA k)x+4(2k-1)2-16=0. (2)对椭圆上不是上下顶点的任意一点 设A(x1y1),B(x2y2),则x1,x2是上述方程 P,其关于y轴的对称点记为P',求|PF|+ 的两个根，于是x1十x2 8(2k2-k) PF 4k2十1 (3)过点Q(2,0)作直线交椭圆于不同的 又M为AB的中点， :21_42%-》-2, 两点A,B,求△FAB面积的最大值. 2 4k2十1 解析(1)设M为椭圆上任意一点，由椭圆的性 解得=2，且满足△>0 质知|MFImin=a一c,|MF|max=a十c, a-c=2-1,a=2, 故所求直线AB的方程为x十2y一4=0. 所以 所以 方法二设A(x1,y1),B(x2,y2). a+c=2+1,c=1, .M(2,1)为AB的中点， 啟该椭圆的方程为号十y=] .x1+x2=4,y1+y2=2. (2)如图1，记椭圆的右焦点为F',由椭圆的对称 又，A,B两点在椭圆上， 性得|P'F|=|PFI,所以PF|+|P'F|=|PF|+ .x号+4y月=16，x号+4y号=16， 1PF|=2a=2W2 两式相减，得(x一x)十4(y-y)=0, 于是(x1十x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1 y2)=0, .-y2 x1十C2 4 x1一x2 4(y1+y2) 4×2-21 即危加一号子 图1 图2 (3)如图2，直线AB过点Q(2,0),所以直线AB 故所求直线AB的方程为x十2y一4=0. 不与y轴垂直，否则A,B,F共线，不构成三角形 方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y). 设直线AB的方程为x=y十2，设A(x1,y1), .AB的中点为M(2,1), B(x2,y2), .直线与椭圆的另一个交点为B(4一x,2-y). x=my+2, A,B两点都在椭圆上， 联立 1x2+4y2=16,① 2+y2=1, 4-)2+42-yP=16.@ 消去x整理得(m2+2)y2+4my十2=0，△= 由①-②得x+2y-4=0. (4m)2-4(m2+2)×2=8(m2-2)>0, 显然，点A的坐标满足这个方程，代入验证可知，点 所以m2>2. B的坐标也满足这个方程，而过A,B两点的直线只 由弦长公式得|AB|=W1十m·|y1一y2|= 有一条，故所求直线的方程为x十2y一4=0. √8(m2-2) 例日已知转圆若+芳-1a>6>0的去 √1+m2. m2+2 a 直线AB的方程x=my十2可化为x一my一2= 焦点为F,椭圆上的点到点F距离的最大值和 0,所以，点F(一1,0)到直线AB的距离 最小值分别为√2+1和√2一1. |-1-2 3 d=- (1)求该椭圆的方程； √12+(-m)2√1+m2 108 第三章圆锥曲线的方程通 故5sw-2AB·d-21m.Vnz2刀 m2+2 ()-3 4 3 32.√m2-2 ②已知随圆E名十1a>公 √1十m2 m2+2 ① 的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b) (分子中的√m2一2可看成一次的，分母2十2为二次的， 所以①式可香成“二次西慰的结构，这种结构常特一次函 二次函数 的直线的距离为气 数”部分换元成t,并上下同除r以t) (1)求椭圆E的离心率； 令t=√m2-2>0,则m2-2=t2,所以m2+2= (2)如图，AB是圆M:(x+2)2+(y一 2+4,代入①得S△EB一2+4 3√2t3√2 3√2 4 1)2= 的一条直径，若椭圆E经过A,B两 t 点，求椭圆E的方程. 3√2 4” 当且仅当1=，即1=2时等号成立，此时 √m2-2=2,解得m=士√6，满足m2>2,所以 III 核心素养聚焦 111 考向（①椭圆的几何性质 1PB|mx=2b,符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2,即 例⑧（经典·全国乙卷）设B是椭圆C: 2 0<e≤2 2 a+ 1(a>b>0)的上顶点，若C上的任 当 -6,即6<c2时，PBg+a2+ b 意一点P都满足|PB≤2b,则C的离心率的 6,即+a2+62<46,化简得(c2-62)≤0，显然题 取值范围是( ). 不等式不成立 A唔 R[2 答案C 考查内容 核心素养 试题难度 c.(o] D.(o.z] 椭圆的几何性质，函数的最值 逻辑推理 ★★★☆☆ 解析设P(x0yo),由题意得B(0,b), 考向②直线与椭圆的综合问题 例92025·全国一卷)已知椭圆C:x 所以1PB=x6+（,-b2=a(1-9)+ 6b=g（的》+a2+ 方21ab三)的离心率为22，下顶点为 A,右顶点为B,AB|=√10 因为一b≤yo≤b, 当、63 (1)求C的标准方程， ≤-b,即62≥e2时，1PB3=46,即 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线 109 :重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 AP上，且满足|AP·|AR=3. 当血9=2即点Q为（士3，》且P,Q.G ①设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； ②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直 三，点共线且，点P在QG射线上时取到最大值， 线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求 此时|QGImx=3√3，所以|PQ|mx=3(W2+√3). |PQ的最大值 例102025·全国三卷)椭圆C:。2十)3 解析(1)由题意得A(0,一b),B(a,0),所以 |AB1=√a2+b2=√10 1(a>b>0)的离心率为2，长轴长为4 因为e=c-22 a=302=b2+c2,得a=3,b=1,所 (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B 以椭圆C的标准方程为 +y2-1. 两点，O为坐标原点，若S△O4B=2,求AB. (2)①设R(x,y),因为AR与AP同向共线， 解析(1)由题意知a=2,b=√2，c=√2， APIAR=3, 所以AP·AR=3. 则椭圆C的方程为子 21. 又AP=(m,n+1),AR=(x0y0十1)， (2)设l:y=kx-2,点P(0,-2),点A(x1y1), |m(y+1)=(n+1)xo, B(x2y2), 所以 mxo+(n+1)(yo+1)=3, 联立 2 =1, 3m 可得(2k2+1)x2-8kx+4= x0= m2+(n+1)2 y=kx-2, 所以 3(n+1) 0,△=32k2-16, y0= m2+(n+1)2-1, 8k 4 所以R的坐标为 3m 3(n+1) x1十x2 2+n+1)'m2+m+1-1. 202+121x2一262+1>0（两根同号）， 3(n+1) 由4>0，可得>号或长号。 ②o=跟=3kap=3”=m+n+1)2 m 3m m2+(n十1)8 则Saa=Sam-Soau-号×21x,l-号X 1 3(n+1)2-[m2+(n+1)]>m2+(m+4）2=18, √公 3m 2x=lz,-x1=2+1=2, 即点P在以G(0,一4)为圆心，半径为r=3√2的 解得-3 圆上运动，所以|PQ≤|PG引+|QG引=r+|QG|= 3√2+1QG. 所以|AB=√R2十1|x2一x1= 5×2=5. 设Q(3cos0,sin0), 考查内容 核心素养 试题难度 则|QG|2=9cos20+(sin0+4)2=-8sin0+ 椭圆的方程，直线与椭圆的逻辑推理、数 8in9+25-8(sm0-2）》°+27≤27， ★★★★☆ 位置关系 学运算 110