第3章 命题探秘1 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 技法阐释 　　用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题． 1．分离参数法 一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min．若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 2．构造函数分类讨论法 有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数． 高考示例 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 技法一　分离参数法解决不等式恒成立问题 [典例1]　已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． [思维流程]　 [解]　(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)． 即f′(x)＝xex＋ex－4， 则f′(0)＝－3，f(0)＝2， 所以所求切线方程为3x＋y－2＝0． (2)法一：由题意知x＞0时，f(x)≥0恒成立， 即转化为a(xex－2x＋1)≥2x－1对x∈(0，＋∞)恒成立， 设h(x)＝ex－x－1，h′(x)＝ex－1＞0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(0)＝0，故h(x)＞h(0)＝0，即ex≥x＋1， 故xex－2x＋1≥x(x＋1)－2x＋1＝x2－x＋1＞0， 故由题意得a≥对x∈(0，＋∞)恒成立， 设F(x)＝， 则F′(x) ＝ ＝－， 故F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， F(x)max＝F(1)＝， 故a≥，a的取值范围是． 法二：由f(1)≥0，得a≥＞0， 则f(x)≥0对任意的x＞0恒成立可转化为≥对任意的x＞0恒成立． 设函数F(x)＝(x＞0)， 则F′(x)＝－． 当0＜x＜1时，F′(x)＞0； 当x＞1时，F′(x)＜0， 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以F(x)max＝F(1)＝． 于是≥，解得a≥． 故实数a的取值范围是． 点评：利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 　(2022·四川绵阳二模)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2－x． (1)当a＝－时，求函数f(x)的极值； (2)若曲线f(x)在(－2,1)上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝－时，f(x)＝(x－2)ex＋x2－x， 故f′(x)＝(x－1)ex＋x－1＝(x－1)(ex＋1)， 当x＜1时，f′(x)＜0；x＞1时，f′(x)＞0， 故f(x)在x＝1处取极小值且极小值为f(1)＝－－e，无极大值． (2)f′(x)＝(x－1)ex－2ax－1， 因为曲线f(x)在(－2,1)上任意一点处切线的倾斜角均为钝角， 故f′(x)＜0对任意的x∈(－2,1)恒成立， 即(x－1)ex－2ax－1＜0对任意的x∈(－2,1)恒成立． 当x＝0时，(0－1)e0－2a×0－1＝－2＜0，此时a∈R． 当0＜x＜1时，即2a＞对任意0＜x＜1恒成立， 设g(x)＝， 则g′(x)＝＝＝＞0， 故g(x)在(0,1)上为增函数，故g(x)＜g(1)＝－1，故2a≥－1，即a≥－． 当－2＜x＜0时，即2a＜对任意－2＜x＜0恒成立， 同理有g(x)在(－2,0)上为增函数，故g(x)＞g(－2)＝， 故2a≤，即a≤， 综上，有－≤a≤． 技法二　构造函数分类讨论法解决不 等式恒成立问题 [典例2]　已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． [思维流程