第3章 第3节 利用导数解决函数的极值、最值(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　利用导数解决函数的极值、最值 [考试要求]　1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)． (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端 点． 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大． (　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值． (　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 C　[设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4． 当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数， 当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C．] 2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 D　[f′(x)＝－＋＝(x＞0)， 当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0， 所以x＝2为f(x)的极小值点．] 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为 ． －1　[f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1． 当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0． ∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1．] 4．函数f(x)＝x3－12x的极小值为 ，极大值为 ． －16　16　[f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，即3x2－12＝0， 解得x＝±2，当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0， 因此x＝－2是极大值点，x＝2是极小值点，f(x)极大＝f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16，f(x)极小＝f(2)＝23－12×2＝－16．] 考点一　利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 　根据函数图象求值问题 [典例1－1]　函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于(　　) A． B． C． D． C　[因为函数f(x)的图象过原点，所以d＝0． 又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2．由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝，故选C．] 点评：可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大