第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　利用导数解决函数的单调性问题 [考试要求]　1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)． 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在(a，b)内f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数． (　　) (2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减． (　　) (3)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立． (　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上f(x)是增函数 C　[由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．] 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 D　[因为f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D．] 3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ． (2，＋∞)　[函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝(x－2)ex， 当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时有不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2．] 4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是 ． 3　[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又x∈[1，＋∞ )，所以a≤3， 即a的最大值是3．] 考点一　不含参数的函数的单调性 　求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间． 1．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0． 所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A．] 2．(2023·四川内江模拟预测)函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0,2) B　[f(x)的定义域为(0，＋∞)， 解不等式f′(x)＝x－＝＜0，可得0＜x＜1， 故函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0,1)．] 3．函数f(x)＝excos x的单调递增区间为 ． (k∈Z)　[f′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)， 令f′(x)＞0得cos x＞sin x， ∴2kπ－π＜x＜2kπ＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．] 点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 考点二　含参数函数的单调性 解决含参数函数的单调性问题应注意的两点 (1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． [典例1]　已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x．若a＞0，试讨论函数f(x)的单调性． [解]　因为f(x