第2章 第9节 函数与方程(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数与方程 [考试要求]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 提醒：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2．函数的零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 4．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的三个结论 (1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点． (2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． (3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0． (　　) (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c当b2－4ac＜0时没有零点． (　　) (5)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 二、教材习题衍生 1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．] 2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) C　[由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．] 3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________． 1　[∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，图象连续不断，且f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．] 4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． (－∞，4)　[由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4．] 考点一　判定函数零点所在区间 　判断函数零点所在区间的方法 1．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)上均有零点 B．在区间，(1，e)上均无零点 C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点 D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点 D　[当x∈时，函数图象是连续的，且f′(x)＝－＝＜0，所以f(x)在区间上单调递减，又f ＝＋1＞0， f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，所以函数f(x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D．] 2．(2023·四川绵阳市高三模拟)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A．