第2章 第7节 对数与对数函数(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　对数与对数函数 [考试要求]　1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 提醒：指数式与对数式的关系 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)换底公式： logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)对数的运算性质： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad． 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　) (2)log2x2＝2log2x． (　　) (3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(log29)·(log34)＝(　　) A． B． C．2 D．4 D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4．故选D．] 2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log23＞1． 所以c＞a＞b．故选D．] 3．函数y＝的定义域是________． 　[由log (2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1． ∴＜x≤1． ∴函数y＝的定义域是．] 4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． (3,1)　[当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1． 所以函数的图象恒过点(3,1)．] 考点一　对数式的化简与求值 　对数运算的一般思路 [典例1]　(1)(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． (2)计算log23·log38＋()的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (1)C　(2)D　[(1)2a＝5,8b＝3,2a－3b＝＝＝，4a－3b＝(2a－3b)2＝，故选C． (2)log23·log38＝log28＝3，()＝3＝3＝2， ∴log23·log38＋()＝5，故选D．] 点评：对数运算中logab＝是常用的性质之一． 1．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B． 法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B． 法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．] 2．(2023·四川成都模拟)在不考虑空气阻力的条件