第2章 第6节 指数与指数函数(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　指数与指数函数 [考试要求]　1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．3．体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R． 提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；对于y＝kax，k≠1，a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 4．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a． (　　) (2)y＝x0是偶函数． (　　) (3)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)． (　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________． 2　[依题意解得a＝2．] 2．化简(x＜0，y＜0)＝________． －2x2y　[＝＝|2x2y|＝－2x2y．] 3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． c＜b＜a　[∵y＝是减函数， ∴＞＞， 则a＞b＞1， 又c＝＜＝1， ∴c＜b＜a．] 4．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的________． 　[设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为P＝，经过n个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为P＝，当n＝9时，P＝＝．] 考点一　指数幂的化简与求值 　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 1．(2022·四川凉山三模)计算：8－＋＋＝________． π＋8　[原式＝－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8．] 2．化简·(a＞0，b＞0)＝________． 　 　[由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47． ∴x2＋x－2－2＝45．x＋x＝＋＝(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18． ∴＝．] 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如＝4． 考点二　指数函数的图象及其应用 　指数函数图象问题的求解策略 变换作图 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解 数形结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利