第2章 第5节 幂函数与二次函数(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　幂函数与二次函数 [考试要求]　1．(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义 域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0] 上单调递减； 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上单 调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 公共 点 (1,1) 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 解析 式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a＜0) 图象 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 提醒：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数特征 (1)二次项系数a的正负决定图象的开口方向． (2)－的值决定图象对称轴的位置． (3)c的取值决定图象与y轴的交点． (4)Δ＝b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的三个重要结论 (1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．根与系数的关系 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1,0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且|M1M2|＝|x1－x2|＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数． (　　) (2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数． (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D　[设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，)的坐标代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，故选D．] 2．函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值f(x)的图象均过点(m,0)，则m＋b的值为(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 B　[因为不论a为何值幂函数y＝xa的图象均过点(1,1)， 不论a为何值f(x)的图象均过点(1,1＋b)， 又因为不论a为何值f(x)的图象均过点(m,0)， 所以m＝1且1＋b＝0，即b＝－1，故选B．] 3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤3 C．a＜－3 D．a≤－3 D　[函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D．] 4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3]　[∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3， 即g(x)的值域为[－1,3]．] 考点一　幂函数的图象及其性质 　与幂函数有关问题的解题