第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　函数的奇偶性与周期性 [考试要求]　1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1． ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)，y＝f(x)关于(a,0)对称；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)，y＝f(x)关于x＝a对称． 2．周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3．函数的图象的对称性 (1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则 ①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)； ③f(2a－x)＝f(x)． (2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则 ①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)； ③f(2a－x)＝－f(x)． (3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则 ①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b； ③f(2a－x)＋f(x)＝2b． (4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)． (5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 二、教材习题衍生 1．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B．] 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________． －2　[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2．] 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f ＝________． 1　[f ＝f ＝－4×＋2＝1．] 4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________． (－2,0)∪(2,5]　[由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0； 当2＜x≤5时，f(x)＜0， 又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0． 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．] 考点一　函数奇偶性的判断 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [典例1]　(1