第2章 第1节 函数及其表示(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 本章在高考中一般为1～3个客观题． 2．考查内容 高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性、对称性及周期性的综合应用，函数的零点等内容． 　函数及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)． 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 定义 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 映射f：A→B 提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射． 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 (n∈N*) f(x)≥0 (n∈N*) f(x)有意义 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x)(a＞0且a≠1) f(x)＞0 af(x)(a＞0且a≠1) f(x)有意义 tan[f(x)] f(x)≠＋kπ，k∈Z 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B． (　　) (2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　) (3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数． (　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点． (　　) (5)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 二、教材习题衍生 1．函数f(x)＝＋(x＋2)0的定义域为(　　) A．(－∞，2)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(－2,2) C．(－∞，－2) D．(－∞，2) B　[由f(x)＝＋(x＋2)0， 则解得x＜2且x≠－2， 所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,2)．] 2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 B　[y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B．] 3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为(　　) A．－1 B．－ C．1 D．2 C　[由题意知 解得a＝1，故选C．] 4．已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则a的值为________． －1　[由题意，函数f(x)＝ 当a＜1时，由f(a)＝2，可得a2－a＝2，解得a＝－1或a＝2(舍去)； 当a≥1时，由f(a)＝2，可得2a＋1＝2，即2a＝1，解得a＝0(舍去)，综上可得，实数a的值为－1．] 考点一　求函数的定义域 1．已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义