第1章 第7节 基本不等式(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　基本不等式 [考试要求]　1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立． 2．几个重要的不等式 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)xy≤，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视． 重要不等式链 若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2． (　　) (3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． (　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．] 2．若x＞0，则x＋(　　) A．有最大值，且最大值为4 B．有最小值，且最小值为4 C．有最大值，且最大值为2 D．有最小值，且最小值为2 B　[x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B．] 3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2． 25　[设一边长为x m， 则该边的邻边长可表示为(10－x)m， 由题知0＜x＜10， 则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立， 故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2．] 4．已知x＞2，则x＋的最小值为________． 6　[∵x＞2， ∴x＋＝(x－2)＋＋2≥6．当且仅当x＝4时取等号．] 考点一　利用基本不等式求最值 　利用基本不等式求最值的三种方法 　直接法求最值 [典例1－1]　(1)若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)·(b＋1)的最大值为(　　) A． B．2 C． D．4 (2)若ab＞0，则的最小值为(　　) A．2 B． C．3 D．2 (3)(2022·新高考Ⅱ卷改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤1 D．x2＋y2≥1 (1)C　(2)A　(3)B　　[(1)(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝ab＋2≤＋2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故选C． (2)∵ab＞0，∴＝＋≥2＝2， 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选A． (3)∵x2＋y2－xy＝1，xy≤， ∴1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确． 又x2＋y2－1＝xy≤，即x2＋y2≤2，故C错误，D错误，故选B．] 点评：解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键． 　配凑法求最值 (1)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． (3)(2022·天津河西区高三二模)函数y＝(x>－1)的最小值为________． (1)　(2)1　(3)9　[(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为． (2)因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－5＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1． (3)因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝ ＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，∴已知函数的最小值为9．] 　常数代换法求最值 [典例1－3]　(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． (2)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．＋ B．＋ C．3＋2 D．＋ (1)4　(2)A　[(1)因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)