第1章 第5节 一元二次不等式及其解法(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　一元二次不等式及其解法 [考试要求]　1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 1．一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． 2．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a >0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 提醒：解集的端点是对应方程的根． 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0； (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0． 2．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)＞0⇔f(x)g(x)＞0． 3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． (　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R． (　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为(　　) A．{x|－2＜x＜－1}　　　 B．{x|－1＜x＜2} C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2} A　[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A．] 2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于(　　) A．{x|－2＜x＜3} B．{x|－2≤x≤3} C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3} B　[由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B．] 3．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集为∅，则a的取值范围是________． (9，＋∞)　[由题意知，x2－6x＋a＞0的解集为R， 则Δ＝(－6)2－4a＜0，解得a＞9．] 4．关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝________． 1　[由题意知，x＝2是方程－x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－×22＋2×2＝2，解得m＝1．] 考点一　不含参数的一元二次不等式 　解一元二次不等式的四个步骤 1．下面四个不等式中解集为空集的是(　　) A．3x2－7x－10≤0 B．－x2＋6x－9≤0 C．－2x2＋x＜－3 D．x2－4x＋7≤0 D　[对于A选项，解不等式3x2－7x－10≤0得－1≤x≤，A不满足条件； 对于B选项，由－x2＋6x－9≤0得x2－6x＋9＝(x－3)2≥0，该不等式的解集为R，B不满足条件； 对于C选项，由－2x2＋x＜－3可得2x2－x－3＞0，解得x＜－1或x＞，C不满足条件； 对于D选项，因为x2－4x＋7＝(x－2)2＋3＞0，故不等式x2－4x＋7≤0的解集为空集，D满足条件．] 2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2或x≥3} C． D． B　[∵不等式ax2－bx－1>0的解集是， ∴ax2－bx－1＝0的解是x