第1章 第4节 不等关系与不等式(教参)-【名师导航】2024年高考文科数学一轮总复习(老高考)人教版

　不等关系与不等式 [考试要求]　1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景． 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) (4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性) 提醒：同向不等式可相加，不能相减． 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞． 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　) (2)若ac2＞bc2，则a＞b． (　　) (3)若＞1，则a＞b． (　　) (4)若a＋c＞b＋c，则a＞b． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3 D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D．] 2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则(　　) A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd D　[c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D．] 3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＜b－d B．ac＜bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c C　[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C．] 4．设a＝＋，b＝＋，则a与b的大小关系为(　　) A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．无法判断 B　[a2＝17＋2，b2＝17＋2， 由2＞2，知a2＞b2，又a＞0，b＞0， 所以a＞b，故选B．] 考点一　比较两个数(式)的大小 比较两个数或代数式的大小的三种方法 (1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方； ④分子、分母有理化；⑤通分． (2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数． 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论． (3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较． [典例1]　(1)(2023·四川石室中学高三练习)若M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 (2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． (1)B　(2)a<b　[(1)因为M－N＝x2＋y2＋1－2(x＋y－1) ＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， 所以M＞N． (2)＝＝·＝·＝， ∵∈(0,1)，∴<1，∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618，即a<b．] 1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B B　[因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B．故选B．] 2．已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P与Q的大小关系为________． P>Q　[P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga． 当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以>1， 则loga>0； 当0<a<1时，0<a3＋1<a2＋1，所以0<<1，则loga>0． 综上可知，当a>0且a≠1时，P－Q>0，即P>Q．] 考点二　不等式性质的应用 　1．判断不等式是否成立的方法 (1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件． (2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案． (3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 2．利用不等式的性质求取值范围的方法 (1