课时分层作业20 利用导数解决函数的极值、最值(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(二十)　利用导数解决函数的极值、最值 一、选择题 1．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　) ①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x3－3x2；④y＝2x． A．①② B．①③ C．③④ D．②③ D　[对于①，y′＝3x2≥0，故①不是； 对于②，y′＝2x，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故②是； 对于③，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0时，y′＞0，当0＜x＜2时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故③是； 对于④，由y＝2x的图象知，④不是．故选D．] 2．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f (x)的极小值点；②－1是函数y＝f (x)的极小值点；③y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f (x)在区间(－3，1)上单调递增．则正确命题的序号是(　　) A．①④ B．①② C．②③ D．③④ A　[由图可知x＜－3时，f ′(x)＜0，x∈(－3，1)时f ′(x)＞0，∴－3是f (x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f ′(x)≥0，∴f (x)在区间(－3，1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率大于0．∴③不正确．故选A．] 3．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f (x)＝aln x＋取得最大值－2，则f ′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 B　[因为函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f ′(x)＝－＋，因此函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意，即有f ′(2)＝－1＋＝－．故选B．] 4．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是(　　) A．－37 B．－29　C．－5 D．以上都不对 A　[∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f (x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，f (0)为最大值，∴f (0)＝m＝3，∴m＝3．∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5．∴最小值是－37．故选A．] 5．已知f ′(x)是函数f (x)在R上的导函数，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是(　　) 　 A　　 　　　　B　　 　　　　C　　　 　　　D A　[函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值， 当x<－2时，f ′(x)<0；当x＝－2时，f ′(x)＝0；当x>－2时，f ′(x)>0． 所以，当x<－2时，xf ′(x)>0；当x＝－2时，xf ′(x)＝0； 当－2<x<0时，xf ′(x)<0；当x＝0时，xf ′(x)＝0； 当x>0时，xf ′(x)>0．故选A．] 6．函数f (x)＝－a(x－ln x)在(0，1)内有极值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，e) B．(0，e) C．(e，＋∞) D．[e，＋∞) C　[由f (x)＝－a(x－ln x)得，f ′(x)＝ex－a＝， 因函数f (x)＝－a(x－ln x)在(0，1)内有极值，则x∈(0，1)时，f ′(x)＝0⇔a＝有解， 即在x∈(0，1)时，函数g(x)＝与直线y＝a有公共点， 而g′(x)＝<0，即g(x)在(0，1)上单调递减，∀x∈(0，1)，g(x)>g(1)＝e，则a>e，显然在a＝零点左右两侧f ′(x)异号，所以实数a的取值范围是(e，＋∞)．] 二、填空题 7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． (－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a． ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1．] 8．已知函数f (x)＝ln x－ax存在最大值0，则a＝________． 　[f ′(x)＝－a，x＞0．当a≤0时，f ′(x)＝－a＞0恒成立，函数f (x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f ′(x)＝－a＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增；当x＞时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减． ∴f (x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝．] 9．做一