课时分层作业19 利用导数解决函数的单调性问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(十九)　利用导数解决函数的单调性问题 一、选择题 1．已知函数f (x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f (x)的单调递增区间是(　　) A．和(1，＋∞) B．(0，1)和(2，＋∞) C．和(2，＋∞) D．(1，2) C　[函数f (x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)． f ′(x)＝2x－5＋＝ ＝， 令f ′(x)＞0，解得0＜x＜或x＞2， 故函数f (x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．] 2．函数f (x)的导数为f ′(x)，对任意的正数x都有2f (x)>xf ′(x)成立，则(　　) A．9f (2)>4f (3) B．9f (2)<4f (3) C．9f (2)＝4f (3) D．9f (2)与4f (3)的大小不确定 A　[由2f (x)>xf ′(x)，得xf ′(x)－2f (x)<0， 设g(x)＝，则g′(x)＝＝， 因为x是正数，所以x3>0，又xf ′(x)－2f (x)<0，所以g′(x)<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(2)>g(3)，即>，即9f (2)>4f (3)．] 3．(2022·山东潍坊高三二模)函数f (x)＝(x∈[－π，0)∪(0，π])的图象大致是(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D B　[因为f (x)＝(x∈[－π，0)∪(0，π])，定义域关于原点对称，又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈[－π，0)∪(0，π])为偶函数，函数图象关于y轴对称，所以排除A、D； f ′(x)＝ ＝， 令g(x)＝xcos x－sin x，则g′(x)＝－xsin x，所以当x∈(0，π]时g′(x)≤0，所以g(x)＝xcos x－sin x在x∈(0，π]上单调递减，又g(0)＝0，所以g(x)<0在x∈(0，π]上恒成立，所以f ′(x)<0在x∈(0，π]上恒成立，即函数f (x)＝在(0，π]上单调递减，排除C，故选B．] 4．设函数f (x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(4，＋∞)　C．(－∞，2) D．(0，3] A　[因为f (x)＝x2－9ln x，所以f ′(x)＝x－(x＞0)，由x－≤0，得0＜x≤3，所以f (x)在(0，3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，所以a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2．] 5．若函数f (x)＝kx－ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A． B．[1，＋∞)　C．[2，＋∞) D．(－∞，－2] C　[由f (x)＝kx－ln x＋知，f ′(x)＝k－－， 因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即k－－≥0，则k≥＋在(1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝＋，因为g′(x)＝－－<0在(1，＋∞)上恒成立， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)<g(1)＝2，所以k≥2．] 6．(2023·四川成都教科院附中模拟预测)已知实数a，b，c∈(0，1)，e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c　C．b＜c＜a D．c＜a＜b A　[由ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2得＝，＝，＝＝＝， 构造函数f (x)＝(x＞0)，求导得f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，得x＝1． 当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增． 因为1＜ln 4＜2＜3，所以f (ln 4)＜f (2)＜f (3)，所以f (c)＜f (a)＜f (b)， 又因为a，b，c∈(0，1)，f (x)在(0，1)上单调递减，所以b＜a＜c．故选A．] 二、填空题 7．(2023·吉林白城一中高三模拟)已知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________． [0，1)　[由题意，f ′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)， 当f ′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1， ∵f (x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)， ∴可得t∈[0，1)．] 8．(2023·黑龙江哈尔滨三中高三期中)校社团组织图书义卖活动，将部分义卖所得款进行捐赠，对义卖所得款为x(百元)，x∈[4，8]的班级，做统一方案，方案要求同时具备以下两个条件：①捐赠款f (x)(百元)随班级义卖所得款x(百元)的增加而增加：②捐赠款不低于义