课时分层作业18 导数的概念及运算(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(十八)　导数的概念及运算 一、选择题 1．下列求导运算正确的是(　　) A．＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x B　[＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故选项B正确．] 2．已知f ′(x)是函数f (x)的导数，f (x)＝f ′(1)·2x＋x2，则f ′(2)＝(　　) A． B． C． D．－2 C　[因为f ′(x)＝f ′(1)·2xln 2＋2x，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝，所以f ′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f ′(2)＝×22ln 2＋2×2＝．] 3．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 C　[因为函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，所以h′(t)＝－9.8t＋8，所以在t＝0.5秒时的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．] 4．若曲线f (x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[由题意得f ′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f ′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，∴b＝0． 又f (0)＝g(0)，即a＝1，∴a＋b＝1．] 5．(2023·江西南昌高三期末)已知f (x)是奇函数，当x>0时，f (x)＝－，则函数在x＝－1处的切线方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0 A　[设x<0，则－x>0，所以f (－x)＝－， 又因为f (x)是奇函数， 所以f (x)＝－f (－x)＝，所以f ′(x)＝，所以f ′(－1)＝2，f (－1)＝－1， 所以函数在x＝－1处的切线方程是2x－y＋1＝0．] 6．直线y＝kx－1是曲线y＝1＋ln x的一条切线，则实数k的值为(　　) A．e B．e2 C．1 D．e－1 A　[设切点为(x0，1＋ln x0)，由y＝1＋ln x，得y′＝，则y′|＝， 则曲线在切点处的切线方程为y－1－ln x0＝(x－x0)， 由已知可得，切线过定点(0，－1)，代入切线方程可得：－2－ln x0＝－1，解得x0＝， 则k＝＝e．] 二、填空题 7．(2023·南通市高三模拟)设曲线y＝f (x)在x＝0处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个f (x)＝________． ex＋2(或ex＋C，C为任意常数，ln(x＋1)＋C，ax3＋bx2＋x＋d，sin x＋C等)　[根据题意，构造指数型函数，设f (x)＝ex＋C， 所以f ′(x)＝ex，显然满足f ′(0)＝e0＝1． 故答案可以为：ex＋2(答案不唯一)．] 8．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________． y＝2x　[设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．] 9．(2022·四川泸县第一中学三模)曲线y＝f (x)在x＝1处的切线如图所示，则f ′(1)－f (1)＝________． －2　[设曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则，解得， 所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f ′(1)＝1，f (1)＝1＋2＝3， 因此，f ′(1)－f (1)＝1－3＝－2．] 三、解答题 10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围． [解]　(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝， ∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1， ∴切线方程为3x＋3y－11＝0． (2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪． 故α的取值范围为∪． 11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积． [解]　(1)两函数y＝