课时分层作业10 函数的奇偶性与周期性(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(十)　函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．f (x)＝xcos x B．f (x)＝ C．f (x)＝lg|x| D．f (x)＝ex－e－x C　[对于A，定义域为R，f (－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f (x)，f (x)是奇函数； 对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f (x)是非奇非偶函数； 对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x)＝lg|－x|＝lg |x|＝f (x)，f (x)是偶函数； 对于D，定义域为R，f (－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f (x)，f (x)是奇函数．] 2．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 B　[选项A：因为函数f (x)＝，所以f (x－1)－1＝－1＝－1＝－2，当x＝1，－1时，函数f (x－1)－1的值分别为0，－4．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性． 选项B：因为函数f (x)＝，所以f (x－1)＋1＝＋1＝＋1＝．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数． 选项C：因为函数f (x)＝，所以f (x＋1)－1＝－1＝－－1＝－，当x＝1，－1时，函数f (x＋1)－1的值分别为－，0．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性． 选项D：因为函数f (x)＝，所以f (x＋1)＋1＝＋1＝－＋1＝，当x＝1，－1时，函数f (x＋1)＋1的值分别为，2．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性． 综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B．] 3．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f ＝，则f ＝(　　) A．－　　B．－　　C．　　D． C　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝－f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f ＝f ＝f ＝．故选C．] 4．(2022·赤峰市高三二模)设奇函数f (x)的定义域为R，f 为偶函数，当0<x＜时，f (x)＝，则f (2 023)＋2f (2 024)＝(　　) A．　　B．－　　C．　　D．－ B　[由题知，f ＝f ⇒f ＝f (－x)⇒f (x＋3)＝－f (－x)＝f (x)， 则f (x)的周期为3，f (2 023)＋2f (2 024)＝f (1)＋2f (－1)＝－f (1)＝－．] 5．已知函数f (x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f (x)的值域为(　　) A．(－1，1) B．(－2，2) C．(－3，3) D．(－4，4) A　[法一：由f (x)是奇函数知f (－x)＝－f (x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f (x)＝1－．因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f (x)的值域为(－1，1)． 法二：函数f (x)的定义域为R，且函数f (x)是奇函数，所以f (0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f (x)＝1－．因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f (x)的值域为(－1，1)．] 6．已知函数f (x)＝为奇函数，则f (a)＝(　　) A．－1　　B．1　　C．0　　D．±1 C　[∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)， ∴f (x)＝ ∴f (－1)＝(－1)2＋(－1)＝0．] 二、填空题 7．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝log2(－x)，则f (f (2))＝________． 0　[f (2)＝－f (－2)＝－log22＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝log21＝0．] 8．(2023·四川德阳模拟)若函数f (x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________． 1　[由函数f (x)＝xln(x＋)为偶函数⇒函数g(x)＝ln(x＋)为奇函数， g(0)＝ln a＝0⇒a＝1．经验证符合题意．] 9．(2023·四川成都七中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>1时，满足f (2－x)＝－f (x)，当x∈(0，1]时，f (x)＝x2，则f (－2 021)＋f (2 022)＝________． －1