课时分层作业9 函数的单调性与最值(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(九)　函数的单调性与最值 一、选择题 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f (x)＝－x B．f (x)＝ C．f (x)＝x2 D．f (x)＝ D　[法一：(排除法)取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f (x1)＝，f (x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D． 法二：(图象法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D． ] 2．函数y＝的单调递减区间为(　　) A． B． C．[0，＋∞) D．(－∞，－3] D　[由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0， 函数y＝的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞)， 令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增， 内层函数t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 所以，函数y＝的单调递减区间为(－∞，－3]．] 3．(2023·江油一中模拟预测)已知f (x)＝x，g(x)＝x2－2x，F (x)＝则F (x)的最值情况是(　　) A．最大值为3，最小值为－1 B．最小值为－1，无最大值 C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值 D　[由f (x)≥g(x)得0≤x≤3； 由f (x)<g(x)，得x<0，或x>3， 所以F (x)＝ 易得F (x)无最大值，无最小值．] 4．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) A　[f (x)＝由题意知－a≥－1，即a≤1，故选A．] 5．已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)＜f 的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[因为函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x－1)＜f ． 所以0≤2x－1＜， 解得≤x＜．] 6．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　) A．(1，2)　　B．(－1，2)　　C．[1，2)　　D．[－1，2) D　[∵函数y＝＝＝－1，∴当x∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x＝2时，y＝0，∴－1≤m＜2，故选D．] 二、填空题 7．(2023·四川广元中学模拟)函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________． ，[1，＋∞)　[画出函数y＝x|x－1|＝的图象，如图， 可得函数的单调递增区间为，[1，＋∞)．] 8．能说明“若f (x)>f (0)对任意的x∈(0，3]都成立，则f (x)在[0，3]上不一定是增函数”为真命题的一个函数是________． f (x)＝sin x(答案不唯一)　[例如f (x)＝sin x，尽管f (x)>f (0)对任意的x∈(0，3]都成立， 但f (x)在上为增函数，在上为减函数，故答案可以为f (x)＝sin x．] 9．如果函数f (x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 　[当a＝0时，f (x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f (x)的对称轴为x＝－，因为f (x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0．综上，实数a的取值范围是．] 三、解答题 10．已知函数f (x)＝－(a＞0，x＞0)． (1)求证：f (x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x)在上的值域是，求a的值． [解]　(1)证明：任取x1＞x2＞0， 则f (x1)－f (x2)＝－－＋＝， ∵x1＞x2＞0， ∴x1－x2＞0，x1x2＞0， ∴f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)， ∴f (x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x)在上是增函数， ∴f ＝－2＝，f (2)＝－＝2，解得a＝． 11．设函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F (x)＝ (1)若f (－1)＝0，且对任意实数x均有f (x)≥0成立，求F (x)的解析式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f (x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． [解]　(1)∵f (－1)＝0，∴b＝a＋1． 由f (x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0， ∴a＝1． 从而f (x)＝x2＋2x＋1． ∴F (x)＝