课时分层作业7 基本不等式(Word练习)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

课时分层作业(七)　基本不等式 一、选择题 1．下列不等式证明过程正确的是(　　) ①若a，b∈R，则＋≥2＝2； ②若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2； ③若x＜0，则x＋≥2＝－4； ④若x＜0，则2x＋2－x＞2＝2． A．①④　　B．②③　　C．①②④　　D．②④ D　[①错误，∵a，b不一定满足同号，故不能用基本不等式；②正确，∵lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式；③错误，∵x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；④正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选D．] 2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6　　B．8　　C．4　　D．16 B　[∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8， 当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8．] 3．若a>0，b>0，3a＋2b＝6，则＋的最小值为(　　) A．6　　B．5　　C．4　　D．3 C　[若a>0，b>0，3a＋2b＝6， 则＋＝×(3a＋2b)＝×≥×＝4，当且仅当3a＝2b＝3，即a＝1，b＝时取等号，则＋的最小值为4．] 4．(2022·四川德阳三模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋(y－1)2＝6的圆心，则＋的最小值是(　　) A．2　　B．8　　C．4　　D．9 D　[圆x2＋(y－1)2＝6的圆心为(0，1)， ∵直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋(y－1)2＝6的圆心， ∴b＋c＝1， ＋＝(b＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当即时取等号， ∴＋的最小值是9．] 5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　) A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q C　[∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0， (lg a＋lg b)＞， 即Q＞P．∵＞，∴lg＞lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R．] 6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A．60件　　B．80件　　C．100件　　D．120件 B　[若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，每件产品的总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．] 二、填空题 7．(2022·上饶市高三一模)已知a>0，b>0且a＋3b＝1，则2a＋8b的最小值为________． 2　[由基本不等式可得2a＋8b＝2a＋23b≥2＝2＝2， 当且仅当a＝3b＝时，等号成立，因此，2a＋8b的最小值为2．] 8．已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围为________． 　[由x∈(0，2]，ax2－2x＋3a<0，可得a<， 令y＝，因为x≠0，所以y＝＝≤＝， 当且仅当x＝时取等号，所以a<．] 9．已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________． 2＋2　[∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1， ∴＝＋＝＋＝＋＋2 ≥2＋2＝2＋2． 当且仅当即a＝－1，b＝2－时等号成立． 因此的最小值为2＋2．] 三、解答题 10．某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ [解]　(1)设汽车行驶的速度为x千米/小时，运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x≤1 260，化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， ∴运输的总费用不超过1 260元时，汽车行驶速度的范围为[40，90]． (2)设汽车行驶的速度为x千米/小时，运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴运输的总费用：×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240， 当且仅当2x＝，即x＝60时取等号， ∴要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶． 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． [解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64．