第10章 核心素养6 用数学语言表达世界——数据分析与建模求解(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程．主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论．在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积极依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验． [素养案例]　某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75]，得到如图①所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图②所示，以样本的频率作为总体的概率． 图①　　　　　　　　　　图② (1)求频率分布直方图中a，b，c的值； (2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望； (3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25．若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.954 5，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由． [解]　(1)由题图②知，100名样本中体重低于50公斤的有2人， 用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为＝0.02，则a＝＝0.004， 在[50，55)上有13人，该组的频率为0.13，则b＝＝0.026，所以2c＝＝0.14，即c＝0.07． (2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[55，65)的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布X～B(3，0.7)， 则P(X＝0)＝C0.700.33＝0.027， P(X＝1)＝C0.710.32＝0.189， P(X＝2)＝C0.720.31＝0.441， P(X＝3)＝C0.730.30＝0.343， 所以，X的概率分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 E(X)＝3×0.7＝2.1． (3)由N(60，25)得σ＝5， 由图①知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.954 5．所以可以认为该校学生的体重是正常的． [评析]　本题以学生体重情况为背景，设计概率与统计、正态分布的综合应用．体现了数学建模(用频率估计概率、正态分布)、数学运算(求平均数、方差、求概率)、数据分析、逻辑推理(由直方图求平均数、方差，由正态分布求概率及期望)的学科素养，培养了统计意识，经历”收集数据－整理数据－分析数据－作出推断“的全过程． [素养培优] 某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜．根据过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的关系为如图所示的折线图． (1)依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)．(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系： 周光照量X (单位：小时) 30＜X≤50 50≤X≤70 X＞70 光照控制仪最多可运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．以频率作为概率，商家欲使周总利润的期望达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 附：相关系数公式r＝， 参考数据：≈0.55，≈0.95． [解]　(1)由已知数据可得＝＝5， ＝＝4． 因为 (xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，＝＝2， ＝＝． 所以相关系数r＝ ＝＝≈0.95． 因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元． ②安装2台光照控制仪的情形： 当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3 000－1 000＝2 000(元)， P(Y＝2 000)＝＝0.2， 当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总