第10章 第8节 概率、统计的综合题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　概率、统计的综合题 [考试要求]　能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等． 考点一　概率与统计的综合应用 　概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题． [典例1]　(2023·四川省泸县第二中学模拟预测)某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市2024年初中毕业升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图(如图)，且规定计分规则如表： 每分钟 跳绳个数 [155，165) [165，175) [175，185) [185，＋∞) 得分 17 18 19 20 若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该初中学校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型： (1)预估全年级恰好有2 000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数) (2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3． [解]　(1)＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)， 又σ2≈169，σ＝13，所以正式测试时，μ＝185，σ＝13，∴μ－σ＝172． ∴P(ξ＞182)＝1－＝0.841 35， ∴0.841 35×2 000＝168 2.7≈1 683(人)． (2)由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5， 即ξ～B(3，0.5)，∴P(ξ＝0)＝C(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)＝C0.5(1－0.5)2＝0.375， P(ξ＝2)＝C0.52(1－0.5)＝0.375，P(ξ＝3)＝C0.53＝0.125，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 所以E(ξ)＝3×0.5＝1.5． 点评：本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙地融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及期望与方差的运算是解决问题的关键． [跟进训练] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的均值． [解]　(1)当X∈[100，130)时， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000． 当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000． 所以T＝ (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150． 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7． (3)依题意可得T的分布列为 T