第10章 第7节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 [考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量的期望、方差的概念．2．会求简单离散型随机变量的期望、方差，并能利用离散型随机变量的期望、方差概念解决一些简单实际问题．3．借助频率直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 1．离散型随机变量的分布列、期望与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差：称D(X)＝[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 3．两点分布与二项分布的期望、方差 期望 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 4．正态分布 (1)正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3． [常用结论] 1．期望与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)． 2．超几何分布的期望：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (2)若X～N(μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的期望和方差． (　　) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 二、教材习题衍生 1．已知X的分布列为 X －1 0 1 P a 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A． B．4 C．－1 D．1 A　[由概率分布列的性质可知：＋＋a＝1， ∴a＝． ∴E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－． ∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－＝．] 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的方差D(X)＝________． 　[由＋＝1得a＝1或－2(舍去)． ∴X的分布列为 X 0 1 P ∴D(X)＝＝．] 3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 　[∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称， 且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， ∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝．] 4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 乙　[E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1．E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为E(Y)<E(X)，所以乙技术好．] 考点一　求离散型随机变量的期望、方差 　 求离散型随机变量X的期望与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取每个值时的概率． (3)写出X的分布列． (4)由期望的定义求E(X)． (5)由方差的定义求D(X)． [典例1]　编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)． [解]　ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P(ξ