第10章 第6节 n次独立重复试验与二项分布(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　n次独立重复试验与二项分布 [考试要求]　1．了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题． 1．条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． [常用结论] 牢记并理解事件中常见词语的含义 (1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B； (2)A，B都发生的事件为AB； (3)A，B都不发生的事件为； (4)A，B恰有一个发生的事件为A∪B； (5)A，B至多一个发生的事件为A∪B∪． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． (　　) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立． (　　) (4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　) A． B． C． D． D　[根据题意，在第1次抽到文科题后，还剩4道题，其中有3道理科题，则第2次抽到理科题的概率P＝，故选D．] 2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　) A． B． C． D． B　[因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝．] 3．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　) A． B． C． D． A　[用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C××＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为．] 4．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是(　　) A． B． C． D． C　[由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为1－0.4＝0.6， 罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次， 故概率P＝C0.4×(0.6)2×0.4＝0.172 8＝． 故选C．] 考点一　条件概率 　求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝． 1．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦．”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，良为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情．如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为(　　) A． B． C． D． D　[由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B． 法一：因为P(A)＝1－P()＝1－＝，P(