第10章 第5节 离散型随机变量及其分布列(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　离散型随机变量及其分布列 [考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②pi＝1． 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． X 0 1 … m P … [常用结论] 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． (　　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布． (　　) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　) A． B． C． D． C　[由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝．] 2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　) A． B． C． D． D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝．] 3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________． 0，1，2，3　[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，2，3．] 4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________． X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 　[因为X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列为．] 考点一　离散型随机变量的分布列的性质 　分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 1．(2023·四川绵阳模拟预测)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则下列选项说法错误的是(　　) A．15a＝1 B．P(0.4＜ξ＜0.8)＝0.2 C．P(0.1＜ξ＜0.6)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3 D　[选项A，由已知可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故该选项正确； 选项B，P(0.4＜ξ＜0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故该选项正确； 选项C，P(0.1＜ξ＜0.6)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝P＋P＝＋＝0.2，故该选项正确； 选项D，P(ξ＝1)＝×5＝≠0.3，故该选项错误． 故选D．] 2．随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________． 　　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c．又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝．又a＝－