第10章 第4节 古典概型与几何概型(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　古典概型与几何概型 [考试要求]　1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．3．了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．4．了解几何概型的意义． 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型的特点 3．古典概型的概率计算公式 P(A)＝． 4．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 5．几何概型的两个基本特点 6．几何概型的概率公式 P(A)＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (　　) (2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是． (　　) (3)概率为0的事件一定是不可能事件． (　　) (4)从市场上出售的标准为(500±5)g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　) A． B． C． D． D　[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝．] 2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是(　　) A． B． C． D． C　[试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝．] 3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A． B． C． D． A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝．] 4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 　[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝．] 考点一　简单的古典概型 　用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： (1)定型，即根据古典概型的特点－－有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． (2)求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． (3)求值，代入公式 P(A)＝求值． [典例1]　(1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) A． B． C． D． (2)(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A． B． C． D． (3)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． (1)C　(2)C　(3)　[(1)法一：4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝． 法二：将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝． (2)从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3))，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15种情况， 其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6种情况，故概率为＝． 故选C． (3)从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，故所求概率P＝＝＝．] 点评：求基本事件的个数时，应注意其顺序性． [跟进训练] 1．将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　) A． B． C． D． C　[将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为＝．故选C．] 2．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f (x)＝ax