第10章 第2节 二项式定理(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　二项式定理 [考试要求]　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C． 2．二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C． (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为C；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为C和C． 3．各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [常用结论] (1)C＝1；(2)C＝1；(3)C＝C； (4)C＝C＋C． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　　) (4)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　) A．6 B．－6 C．24 D．－24 A　[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6．故选A．] 2．二项式的展开式中x3y2的系数是(　　) A．5 B．－20 C．20 D．－5 A　[二项式的通项为Tk＋1＝C··(－2y)k．根据题意，得解得k＝2．所以x3y2的系数是C×(－2)2＝5．故选A．] 3．的值为(　　) A．1 B．2 C．2 019 D．2 019×2 020 A　[原式＝＝＝1．故选A．] 4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________． 8　[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．] 考点一　二项展开式的通项公式的应用 　形如(a＋b)n的展开式问题 　二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： ①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n)求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． ③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 　(1)(2022·天津高考)的展开式中的常数项为________． (2)(2021·天津高考)在的展开式中，x6的系数是________． (3)二项式的展开式中，所有有理项的系数之和为A；把展开式中的项重新排列，设有理项互不相邻的排法总数为B，则＝________． (1)15　(2)160　(3)　[(1)由题意的展开式的通项为Tk＋1＝C·()5－k·＝C·3k·x， 令＝0，即k＝1，则C·3k＝C·3＝15， 所以的展开式中的常数项为15． 故答案为15． (2)的展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x3)6－k·＝26－kC·x18－4k， 令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23C＝160． (3)因为二项式的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx x＝Cx，因为＝1－∈Z， 所以k＝0，2，4，6，故所有有理项的系数为A＝C＋C＋C＋C＝25＝32； 展开式中共有7项，其中4项为有理项，将另外三项排列有A种，有理项插空排列有A种，把展开式中的项重新排列， 则有理项互不相邻的排法共有B＝AA＝144种． 故＝＝．] 点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数． 　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2． (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____