第10章 第1节 两个计数原理、排列与组合(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

(教师备用资源) 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1．考查形式 高考在本章一般命制1道小题或者1道解答题，分值占5～17分． 2．考查内容 计数原理常与古典概型综合考查；几何概型均以选择题的形式单独考查；对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项；对正态分布的考查，可能单独考查也可能在解答题中出现；以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型． 　两个计数原理、排列与组合 [考试要求]　1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．3．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．4．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝mn种不同的方法 2．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． (　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (4)kC＝nC． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有________种；若从每一层中各取1本书，不同的取法有________种． 16　120　[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法；若从每层中各取1本书，共有3×5×8＝120种不同取法．] 2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________． 48　[末位只能从2，4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有AC＝4×3×2×2＝48个．] 3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________． 24　[“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24．] 4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种． 45　54　[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．] 考点一　两个计数原理的综合应用 　 利用两个基本计数原理解决问题的步骤 1．某小区有5个连排的私家车位，其中1、2号为甲家所有，3、4号为乙家所有，5号为丙家所有．若甲、乙、丙三家各有一辆私家车，规定每个车位至多停一辆车且这三辆车只能停这5个车位，称车辆未停在自家车位上为停错位，则三辆车全停错位的停法数为________．(用数字作答) 20　[三辆车全停错位，5号车位停甲或乙车子，方法数有2×2×3＝12， 5号车位未停车，方法数为2×2×2＝8，总方法数为12＋8＝20．] 2．(2022·四川绵阳二模)现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有________种．(用数字作答) 36　[依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有CCA＝24种选派方法； ②选两名男志愿者，则有CA＝12种选派方法． 综上可得，一共有24＋12＝36种选派方法． 故答案为36．] 3．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则