第7章 核心素养5 用数学眼光观察世界——巧解简单几何体的外接球与内切球问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.,下面从六个方面分类阐述该类问题的求解策略. 利用长方体的体对角线探索外接球半径 　已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC＝，则过A，B，C，D四点的球的表面积为(　　) A．3π　　B．4π　　C．5π　　D．6π C　[连接BC(图略)，由题知几何体ABCD为三棱锥，BD＝CD＝1，AD＝，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是，1，1的长方体，其体对角线长为＝，故该三棱锥外接球的半径是，其表面积为5π．] [评析]　若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两条垂直，可构造墙角模型(如下图)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R． 图①　　　　　　　　　　图② 图③　　　　　　　　　　图④ 　(2023·四川成都七中模拟预测)如图，几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为________． 9π　[设正四棱柱和正四棱锥的高为h， 则其外接球的半径为R＝ ＝＝h＋h＝h， 解得h＝1，所以R＝， 故球的表面积为S＝4πR2＝9π，故答案为9π． ] 利用长方体的面对角线探索外接球半径 　三棱锥S­ABC中，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝，则三棱锥的外接球的表面积为________． 14π　[如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c． 则SC＝AB＝＝， SA＝BC＝＝， SB＝AC＝＝． 从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π．故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．] [评析]　三棱锥的相对棱相等，探寻球心无从着手，注意到长方体的相对面的面对角线相等，可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球半径． 　已知A，B，C，D是球O表面上四点，且任意两点之间距离相等，若作球O的截面截四面体ABCD所得的截面是边长为的正方形，则球O的体积为(　　) A．4π　　B．4π　　C．8π　　D．12π B　[因为A，B，C，D是球O表面上四点，且任意两点之间距离相等， 所以四面体ABCD为正四面体， 截面截正四面体ABCD所得的截面是正方形时，截面过球心， 且正方形的边长为正四面体ABCD棱长的一半， 因为截面正方形的边长为， 所以正四面体ABCD的棱长为2， 把这个正四面体放在正方体中，如图所示， 所以该正方体的棱长为＝2， 所以外接球的半径为×＝， 故球O的体积V＝π()3＝4π，故选B．] 利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心 　平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．若四面体A′BCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为(　　) A．π　　B．3π　　C．π　　D．2π A　[如图，设BD，BC的中点分别为E，F．因点F为底面直角△BCD的外心，知三棱锥A′­BCD的外接球球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线l1上．又点E为底面直角△A′BD的外心，知外接球球心必在过点E且与平面A′BD垂直的直线l2上．因而球心为l1与l2的交点．又FE∥CD，CD⊥BD，知FE⊥平面A′BD．从而可知球心为点F．又A′B＝A′D＝1，CD＝1，BD＝，可知BC＝，球半径R＝FD＝＝．故V＝π＝π．] [评析]　三棱锥侧面与底面垂直时，可紧扣球心与底面三角形外心连线垂直于底面这一性质，利用底面与侧面的外心，巧探外接球球心，妙求半径． 　三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为(　　) A．23π　　B．π　　C．64π　　D．π D　[如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC，可知O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝． 故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．] 利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心 　一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为______． 　[设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，