第7章 第7节 立体几何中的最值、翻折、探索性问题(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　立体几何中的最值、翻折、探索性问题 考点一　立体几何中的最值问题 　解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手： 一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决； 二是利用空间几何体的侧面展开图； 三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等． [典例1]　(1)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为(　　) A． B．　　C．2＋ D．2 (2)如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2． 若点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． (1)A　[如图，把△A1B1D1折起至与平面BDD1B1共面，连接A1B交B1D1于P，则此时的A1P＋PB最短，即为A1B的长，在△A1B1B中，由余弦定理求得A1B＝，故选A．] (2)[解]　因为PA⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，AB⊂平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因为AE⊥AD，B为AE中点，所以PA，AD，AB两两垂直． 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． ＝(－1，0，2)，故可设＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)． 又＝(0，－1，0)， 所以＝＋＝(－λ，－1，2λ)． 又＝(0，－2，2)， 所以cos〈，〉＝＝． 设1＋2λ＝t，t∈[1，3]， 则cos2〈，〉＝＝≤， 当且仅当t＝，即λ＝时， |cos〈，〉|的最大值为． 因为y＝cos x在上是减函数， 所以当λ＝时直线CQ与DP所成角取得最小值． 又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝． 点评：本例(1)属于线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用． [跟进训练] (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值． [解]　(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE； 在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB， 所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE； 又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED， 因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD． (2)连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED， 所以AC⊥EF，所以S△AFC＝AC·EF， 当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小． 因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2， 又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形， 因为E为AC的中点，所以AE＝EC＝1，BE＝， 因为AD⊥CD，所以DE＝AC＝1， 在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，所以BE⊥DE． 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E­xyz， 则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(－1，，0)， 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝，则n＝(3，，3)， 因为EF⊥BD，所以由＝，得DF＝＝BD，设F(a，b，c)，所以＝(a，b，c－1)，＝(0，，－1)，由＝， 得(a，b，c－1)＝(0，，－1)，即F． 又因为C(－1，0，0)，所以＝， 所以cos〈n，〉＝＝＝， 设CF与平面ABD所成的角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝， 所以CF与平面ABD所成角的正弦值为． 考点二　平面图形的翻折问题 　三步解决平面图形翻折问题 [典例2]　(2022·四川南充三模)如图①是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥BC，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置(如图②)，使二面角P­CD­B为直二面角． 图①　　　　　　　　　图② (1)证明：AC⊥PD； (2)若平面PCD与平面PAB的交