第7章 第6节 立体几何中的向量方法(教参)-【名师导航】2024年高考理科数学一轮总复习(老高考)人教版

　立体几何中的向量方法 [考试要求]　能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 1．异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角〈a，b〉 l1与l2所成的角θ 范围 0＜〈a，b〉＜π 0<θ≤ 关系 cos〈a，b〉＝ cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ 2．直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝． 3．二面角 (1)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 图①　　　　图②　　　　图③ (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． [常用结论] 点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． (　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． (　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． (　　) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30°　　B．60°　　C．120°　　D．150° A　[由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°．] 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．　　B．π　　C．或π　　D．或π C　[∵m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)， ∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝， ∴cos〈m，n〉＝＝， ∴〈m，n〉＝． ∴两平面所成的二面角为或π，故选C．] 3．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． C　[建立如图所示的坐标系，设AB＝2， 则C1(，1，0)，A(0，0，2)，＝(，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)．所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为＝＝．] 考点一　求异面直线所成的角 　 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 [典例1]　(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． C　[在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，2，0)，B1(0，0，1)，C， C1，＝(0，－2，1)，＝，cos〈，〉＝＝＝，故选C．] [母题变迁] 1．本例条件换为：“直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点”，则直线EF和BC1所成的角是________． 60°　[以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝BC＝AA1＝2， 则C1(2，0，2)，E(0，1，0)， F(0，0，1)， ∴＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，∴·＝2， ∴cos〈，〉＝＝， 则EF和BC1所成的角是60°．] 2．本例条件换为：“直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为等边三角形， AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点”，则AM与BN所成角的余弦值为________． 　[如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC＝2，则A(0，－1，0)， M(0，0，2)， B(－，0，0)，N， 所以＝(0，1，2)，＝， 所以cos〈，〉＝＝＝．] 点评：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角． [跟进训练] (2023·四川广安二中高三期末)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中